2016　横浜国立大学　後期MathJax

$f(\theta )=\cos 2\theta +2a\sin \theta -b\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(\theta )=0$が奇数個の解をもつときの$a\text{，}b$がみたす条件を求めよ．

(2)　方程式$f(\theta )=0$が$4$つの解をもつときの点$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

$\boxed{0}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{2}$

次の問いに答えよ．

(1)　箱から$3$枚のカードを取り出して，それらに書かれた数字の和を$a$とする．$a$を$3$で割ったとき，余りが$0\text{，}1\text{，}2$となる確率$p\text{，}q\text{，}r$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$を正の整数とする．箱から$3$枚のカードを取り出しては箱に戻すという操作を$n$回行う．$k$回目（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）の操作で取り出した$3$枚のカードの数字の和を$a_k$とし，有限数列$b_0\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n$を

$b_0=0\text{，}{b}_k=2b_{k-1}+a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

で定める．$b_n$が$3$で割り切れる確率$p_n$を求めよ．

$\{\begin{array}{ll}{a}^2+b^2=1& \\ x^2+xy+y^2=3\sqrt{2}{a}^2+3ab-3\sqrt{2}{b}^2+{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$

をみたしながら動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x^2+xy+y^2$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$x^3-x^{2}y-x{y}^2+y^3$のとりうる値の範囲を求めよ．

$\{\begin{array}{ll}a(1)=1& \\ a(2n)=a(n)\text{，}a(2n+1)=a(n)+a(n+1)& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

をみたす．数列$\{a(n)\}$を用いて，数列$\{b(n)\}$を次のように定める．

$b(n)=a(2^{n-1})+a(2^{n-1}+1)+a(2^{n-1}+2)+\cdots +a(2^n-1)$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$b(1)\text{，}b(2)\text{，}b(3)$を求めよ．

(2)　一般項$b(n)$を求めよ．

(3)　$a(1)+a(2)+a(3)+\cdots +a(2^n-1)$を求めよ．

(1)　複素数平面上で，${\displaystyle \frac{(1-i)(z-2)}{iz}}$が実数となるような点$z$が描く図形を図示せよ．

(2)　$a\text{，}b$は実数の定数で，$b\ne 0$とする．$z$が(1)で求めた図形上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{iz+a(1+i)}{z-b}}$と表せる点$w$が，つねに$2$点$0$と$1+i$を通る直線上にあるような$a\text{，}b$を求めよ．

$C\text{：}x={\cos }^{3}t\text{，}y={\sin }^{3}t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

がある．$C$上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)\text{，}\mathrm{Q}({\cos }^3\theta ,{\sin }^3\theta )(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$を出発し，$C$上を$\mathrm{B}$に向かって$\mathrm{Q}$まで速さ$\sqrt{3}$で進み，$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{QO}$上を$\mathrm{O}$まで速さ$1$で進む．次の問いに答えよ．

(1)　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$を出発し$\mathrm{O}$に到達するまでの所要時間$T(\theta )$を求めよ．

(2)　$T(\theta )$の最小値を求めよ．