2016　新潟大学　前期MathJax

【１】　整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$i$を虚数単位とするとき，$P(i)\text{，}P(-i)$の値を求めよ．

(2)　方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．

(3)　$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件

$Q(1)=P(1)\text{，}Q(-1)=P(-1)\text{，}$

$Q(2)=P(2)\text{，}Q(-2)=P(-2)$

をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．

【３】　$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚、全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3\text{，}5\text{，}10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．

(1)　操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．

(2)　操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．

(3)　操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=|x^2-4|-3$について，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)$の解を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$a$を$0<a<1$を満たす実数として，$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば

$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$

が成り立つことを用いてよい．

(1)　$M(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

(3)　$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．

【５】　一般項が$a_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$で表される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}$を求めよ．

(3)　$2$以上の整数$k$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{a_{kn}}{a_n}}\right)}^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．