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2016-10321-0201
2016 新潟大学 推薦理学部数学科
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 次の式を計算せよ.ただし, i は虚数単位とする.
(i- 2 i) 4
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(2) 次の値を求めよ.
sin2 ⁡36⁢ ° +cos2 ⁡72⁢ ° +cos⁡18⁢ ° ⁢sin⁡36⁢ °
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(3) 10 進数 2016 を 5 進法で表せ.
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(4) 方程式 8x+1 -4 x+2 -8× 2x+ 3=0 を解け.
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【2】 関数 f ⁡(x )= 4 -2⁢x x+2 +log⁡ x ( x>0 ) について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) 極限 lim x→+∞ x⁢f ′⁡( x) を求めよ.
(3) a≧2 となる実数 a に対して,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
log⁡a -log⁡2 ≧ 2⁢a- 4a+ 2
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【3】 四面体 OABC において,線分 AC を 1 :2 に内分する点を D , 線分 BD の中点を E とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ としたとき,次の問いに答えよ.
(1) OE→ を a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) 線分 OE を 2 :3 に内分する点を F とし,直線 AF が三角形 OBC を含む平面と交わる点を G とする.このとき, OG→ を b→ , c→ を用いて表せ.
(3) 直線 OG が直線 BC と交わる点を H とする.このとき,三角形 OAG と三角形 AGH の面積の比を求めよ.
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【4】 正の実数 x を小数第 n 位で四捨五入して得られる数を fn⁡ (x ) と表す.ただし, n は正の整数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f1⁡ (0.935 ), f2 ⁡(0.935 ), f3 ⁡(0.935 ) を求めよ.
(2) f1 ⁡( t2) =2 となる実数 t の範囲を求めよ.
(3) fn ⁡( t2) =2 となる正の実数 t の範囲が an≦t <bn となるとき, an と b n を n を用いて表せ.また,極限 limn→ ∞a n と limn→ ∞b n を求めよ.