2016　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$S={\displaystyle \frac{1}{6}}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．

【２】　平面内にベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$がある．下の問いに答えなさい．

(1)　次の等式を証明しなさい．

${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2-{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2=4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

(2)　$m\text{，}$$n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい．

${|m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}|}^2+mn{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2=(m+n)(m{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+n{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2)$

(3)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．

【３】　関数$f(x)\text{，}g(x)$は

$\{\begin{array}{l}f(3x)+g(2x)=\sin 6x\cdots \text{(＊)}\\ f^{\prime }(3x)+g^{\prime }(2x)=\sin 6x\\ f(0)=3\end{array}$

を満たしている．下の問いに答えなさい．

(1)　等式(＊)の両辺を$x$で微分しなさい．

(2)　$f^{\prime }(3x)$を求めなさい．

(3)　$f(x)\text{，}g(x)$を求めなさい．

【４】　自然数$m\text{，}n$が$m\geqq n$を満たすとする．$\mathrm{a}$という文字が$m$個，$\mathrm{b}$という文字が$n$個あり，それらの合計$m+n$個の文字を$1$列に並べるとき，下の問いに答えなさい．

(1)　並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．

(2)　$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．

(3)　$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．