2016　富山大学　前期MathJax

【１】　${\displaystyle \sum _{n=0}^{100}}{2}^n$の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$は

$\alpha \ne 0\text{，}\beta \ne 0\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}=2\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^3}}=3$

を満たすとする．このとき，$A\text{，}B$の値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+Cx+D=0$の$2$つの解$\gamma \text{，}\delta$は

$\gamma \ne 0\text{，}\delta \ne 0\text{，}|\gamma -\delta |=2\text{，}|{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}-{\displaystyle \frac{1}{\delta }}|=2$

を満たすとする．このとき，$C\text{，}D$の値を求めよ．ただし，$C\text{，}D$は有理数である．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=x^3-x$と曲線$C_2\text{：}y={(x-\alpha )}^3-(x-\alpha )+\beta$が，ちょうど$2$つの点を共有しているとする．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$が満たす条件を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$が(1)の条件を満たすとき，点$(\alpha ,\beta )$が存在する領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx$の値を求めよ．

(2)　$3$以上の整数$n$に対して，不等式

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}}}dx<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

が成り立つことを示せ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=-{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{a}_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$以上の整数$n$に対し，$a_n\ne 0$であることを示せ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

【３】　次の条件(ア)，(イ)を満たす複素数$z$を考える．

(ア)　$z+{\displaystyle \frac{i}{z}}$は実数である．

(イ)　$z$の虚部は正である．

ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r=\left|z\right|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．

(2)　$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$y=x^{\sqrt{x}}\text{（}x>0\text{）}$の導関数を求めよ．

【３】　$n$を$1$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{n}$が有理数ならば，$\sqrt{n}$は整数であることを示せ．

(2)　$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ．

(3)　$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ．

【１】　関数$f(x)\text{，}g(x)$に対して，$h(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(x-t)g(t)dt$で定義される関数$h(x)$を$(f*g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$(f*g)(x)=(g*f)(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots$を

$f_1(x)=1-e^{-x}\text{，}{f}_n(x)=(f_{n-1}*g)(x)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義する．

(a)　整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^{\prime }(x)$を$f_n(x)\text{，}{f}_{n-1}(x)$を用いて表せ．

(b)　$h_n(x)=e^n{f_n}^{\prime }(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^{\prime }(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．

(c)　$h_n(x)$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　素数$p$に対して，$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ．

(2)　$p\text{，}q$を異なる素数とする．このとき，整数$k\text{，}m\text{，}n$が

$k+m\sqrt{p}+n\sqrt{q}=0$

を満たすならば，$k=0\text{，}m=0\text{，}n=0$であることを示せ．

【３】　${\displaystyle \sum _{n=0}^{100}}{3}^n$の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．