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2016-10341-0201
2016 富山大学 後期
理(数学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 a を 0 ≦a≦3 を満たす実数とする. x の関数 f ⁡(x )=- 13 ⁢ x3+ ( a4+ 18 ) ⁢x2 - a8⁢ x
を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の 0 ≦x≦1 における最大値 g ⁡(a ) を a の式で表せ.
(2) g ⁡(a ) を a の関数と考えたとき, b=g⁡ (a ) ( 0≦a≦ 3 ) のグラフを a b 平面上に描け.
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【2】 平面上に点 O を中心とする半径 1 の円を考え,その周上に,中心角 π2 の弧 AB をとる.また, 0<θ < π2 を満たす θ に対して ∠ AOP=θ となる点 P を弧 AB 上にとり,線分 OP と線分 AB の交点を Q とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) AQ PQ を θ を用いて表せ.
(2) 極限 limθ→ +0 AQ PQ を求めよ.
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【3】 a を正の定数とし, x の関数 f ⁡(x )=tan ⁡x+a ⁢sin⁡2 ⁢x (0 ≦x< π 2 ) を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f′ ⁡(x )=0 ( 0<x< π 2 ) がただ 1 つの解 x =b をもつとき,定数 a , b の値を求めよ.
(2) a ,b を(1)で求めた値とする.このとき,曲線 y =f ⁡(x ) ( 0≦x≦ b ) および 2 直線 y= 0 ,x= b で囲まれた図形を x 軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めよ.