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2016-10361-0201
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2016 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an } と { bn } は
{ a1 =b1 =2 , an+ 1= 24 ⁢ an- 6 4⁢ bn , bn+1 = 64 ⁢ an+ 2 4⁢ b n ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たすものとする. an を実部とし b n を虚部とする複素数を z n で表すとき,次の問いに答えよ.
(1) zn+ 1=w ⁢zn を満たす複素数 w と,その絶対値 | w| を求めよ.
(2) 複素数平面上で,点 z n+1 は点 z n をどのように移動した点であるかを答えよ.
(3) 数列 { an } と { bn } の一般項を求めよ.
(4) 複素数平面上の 3 点 0 , zn , zn+ 1 を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を T n とする.このとき,複素数平面上で T1 ,T 2 ,⋯ , Tn , ⋯ によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.
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【2】 曲線 C :x2 +4⁢ y2= 4 上を動く点 P と, C 上の定点 Q ( 2,0 ), R (0 ,1) がある.次の問いに答えよ.
(1) ▵PQR の面積の最大値と,そのときの P の座標を求めよ.
(2) (1)で求めた点 P に対して直線 PQ を考える.曲線 C によって囲まれた図形を直線 PQ で 2 つに分けたとき,直線 PQ の下方にある部分の面積を求めよ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) 方程式 25 ⁢x+9 ⁢y=1 の整数解をすべて求めよ.
(2) 方程式 25 ⁢x+9 ⁢y=33 の整数解をすべて求めよ.さらに,これらの整数解のうち, |x+ y| の値が最小となるものを求めよ.
(3) 2 つの方程式 25 ⁢x+9 ⁢y=33 , x⁢y =-570 を同時に満たす整数解をすべて求めよ.
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【4】 a ,b を実数とする. f⁡( x)= 2⁢1 +x2 -a⁢ x2 とし, x についての方程式 f ⁡(x )=b を考える.次の問いに答えよ.
(1) a>0 のとき,関数 f ⁡(x ) の最大値を求めよ.
(2) 方程式 f ⁡(x )=b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.