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2016 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an } { bn }

{ a1 =b1 =2 an+ 1= 24 an- 6 4 bn bn+1 = 64 an+ 2 4 b n n=1 2 3

を満たすものとする. an を実部とし b n を虚部とする複素数を z n で表すとき,次の問いに答えよ.

(1)  zn+ 1=w zn を満たす複素数 w と,その絶対値 | w| を求めよ.

(2) 複素数平面上で,点 z n+1 は点 z n をどのように移動した点であるかを答えよ.

(3) 数列 { an } { bn } の一般項を求めよ.

(4) 複素数平面上の 3 0 zn zn+ 1 を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を T n とする.このとき,複素数平面上で T1 T 2 Tn によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.

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【2】 曲線 C x2 +4 y2= 4 上を動く点 P と, C 上の定点 Q ( 2,0 ) R (0 ,1) がある.次の問いに答えよ.

(1)  PQR の面積の最大値と,そのときの P の座標を求めよ.

(2) (1)で求めた点 P に対して直線 PQ を考える.曲線 C によって囲まれた図形を直線 PQ 2 つに分けたとき,直線 PQ の下方にある部分の面積を求めよ.

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【3】 次の問いに答えよ.

(1) 方程式 25 x+9 y=1 の整数解をすべて求めよ.

(2) 方程式 25 x+9 y=33 の整数解をすべて求めよ.さらに,これらの整数解のうち, |x+ y| の値が最小となるものを求めよ.

(3)  2 つの方程式 25 x+9 y=33 xy =-570 を同時に満たす整数解をすべて求めよ.

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【4】  a b を実数とする. f( x)= 21 +x2 -a x2 とし, x についての方程式 f (x )=b を考える.次の問いに答えよ.

(1)  a>0 のとき,関数 f (x ) の最大値を求めよ.

(2) 方程式 f (x )=b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.

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