2016　福井大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$65x+31y=1$の整数解をすべて求めよ．

(2)　$65x+31y=2016$を満たす正の整数の組$(x,y)$を求めよ．

(3)　$2016$以上の整数$m$は，正の整数$x\text{，}y$を用いて$m=65x+31y$と表せることを示せ．

【２】　一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．

(4)　$x$を(3)で求めた値とするとき，$▵\mathrm{PQR}$の重心と$▵\mathrm{OAB}$の重心は一致することを証明せよ．

【３】　表の出る確率が$r\text{，}$裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$を求めよ．

(2)　$q_n$を求めよ．

(3)　$r={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$q_n\geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として計算せよ．

【４】　$a$を正の定数とし，$f(x)=(x+a)\log x$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線$l$が原点を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値と，接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸，および接線$l$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　定数$k$が$k\geqq {\displaystyle \frac{1}{a}}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k)\log x$は極値を持たないことを示せ．

【５】　$f(x)=x^3\text{，}g(x)=x^3-4$とし，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=g(x)$の両方に接する直線を$l$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}l$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．

(3)　$C_2$と$l$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^{\prime }(x)\text{，}h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$l$とし，点$\mathrm{Q}(a,g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$l$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{PR}}^2-{\mathrm{QR}}^2$の値を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=g(x)\text{，}y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を

$\mathrm{OD}=1\text{，}0\mathrm{°}<\angle \mathrm{BOD}<90\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}<\angle \mathrm{COD}<90\mathrm{°}$

となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta \text{，}\cos \theta =x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,0)$と${\mathrm{F}}^{\prime }(-5,0)$とを焦点とし，直線$l\text{：}y=kx$と直線$l^{\prime }\text{：}y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)　双曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，$l\text{，}{l}^{\prime }$に平行な直線をそれぞれ$m\text{，}{m}^{\prime }$とする．$4$つの直線$l\text{，}{l}^{\prime }\text{，}m\text{，}{m}^{\prime }$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．

(3)　$k=2$のとき，$\mathrm{PF}\cdot {\mathrm{PF}}^{\prime }=2{\mathrm{OP}}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．

【４】　複素数$z$は，以下に述べる規則(a)，(b)にしたがって，$1$秒ごとに値が変化していくものとする．ただし，$i$を虚数単位として，$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とおき，$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$について，時刻$n$秒での$z$の値を$z_n$とおく．

(a)　$z_0=1$とする．

(b)　$z$の値は，時刻$n+1$秒において，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$z_{n+1}={\alpha }^{-1}{z}_n$に変化する．

　$m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，$z_{2m}={\alpha }^2$となる確率を$p_m\text{，}{z}_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$z_{2m}=-1$となる確率を求めよ．

(2)　$q_m$を，$p_m$を用いて表せ．

(3)　$p_m$を求めよ．

(4)　$z_n=1$となる確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,0)$を焦点の$1$つとし，直線$l\text{：}y=kx$と$l^{\prime }\text{：}y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m\text{，}$傾きが負のものを$m^{\prime }$とする．$l$と$m^{\prime }$との交点を$\mathrm{P}\text{，}{l}^{\prime }$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　双曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}b\text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．

(4)　$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

【３】　一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．

(4)　$x$を(3)で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，${\mathrm{PQ}}^2$の値を求めよ．

【４】　表の出る確率が$r\text{，}$裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{p}_n$の和を求めよ．ただし，$0\leqq s<1$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{s}^n=0$であることを用いてもよい．

(3)　$r={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$q_n\geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として計算せよ．