2016　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．

【１】

(2)　座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3)\leqq 0$が表す領域を図示せよ．

【１】

(3)　$\{\begin{array}{l}2\sin \alpha +2\cos \beta =1\\ 2\cos \alpha -2\sin \beta =\sqrt{3}\end{array}$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0\leqq \alpha <2\pi$かつ$0\leqq \beta <2\pi$とする．

【１】

(4)　$1\leqq x\leqq 25\text{，}26x+7y=2$を満たす整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【２】　曲線$C_1\text{：}y={(x-a)}^2-4$と直線$l\text{：}y=2x-7$が点$\mathrm{P}$で接している．曲線$C_2$は，$y=-x^2$を平行移動した曲線で，$\mathrm{P}$を通り，直線$y=6$の$x<0$の部分に接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C_2$の方程式を求め，$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}},t)({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t<1)\text{，}\mathrm{Q}(\alpha ,0)({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \alpha \leqq 1)$がある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}\leqq 90\mathrm{°}$を示せ．

(3)　$l$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ．

(4)　(3)の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ．

【１】

(1)　$\angle \mathrm{A}=90\mathrm{°}$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{BR}\text{，}\mathrm{CP}$は$1$点で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}=60\mathrm{°}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}}$を求めよ．

【１】

(2)　複素数$z$の方程式$z^4=-8-8\sqrt{3}i$の解をすべて求めよ．

【１】

(3)　初項$a_1=3\text{，}$公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を，$n$を用いた式で表せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{4}{3}}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．

(2)　$C$上の点$(1,\sqrt{3})$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C$の$0\leqq x\leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　$C$と$x$軸の$x\geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　$y=e^{-\pi x}\sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．

(2)　$n$を自然数とする．$C$の$n-1\leqq x\leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．

(3)　(2)の$S_n$について，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の値を求めよ．