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2016 信州大学 前期 教育学部

数学 ⅠAⅡB

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= 12 x 2-1 について, y=f (x ) 上の点 ( an, f( an )) における接線と x 軸の交点の座標を ( an+ 1, 0) とする.ただし, a1 >0 とする.

(1)  a1 =2 とするとき, a2 a3 を求めよ.

(2)  a1 >0 に対して, a1 a2 a3 の大小を等号及び不等号を使って表せ.

2016 信州大学 前期 教育学部

数学 ⅠAⅡB

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 点 O を原点とする座標平面上に 2 A ( p,q) B ( p,0 ) をとる.ここで, p q は正の実数とする.三角形 OAB の内接円の中心を I とする.

(1) 直線 AI と辺 OB の交点を C とする.このとき,

OC = |OA | OB | OA |+ | AB |

であることを示せ.

(2)

OI = |OB | OA +| OA | OB |OA | +|OB | +|AB |

であることを示せ.

(3)  AOB の二等分線の傾きが 12 であるとき, qp の値を求めよ.

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数学 ⅠAⅡBⅢ

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】 平面上のベクトル

an =( cos nπ 4, sin n π4 ) b n =(2 cos n π6 ,2 sin n π6 ) n=0 1 2 12

に対して, n= 012 | an + bn |2 を求めよ.

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数学 ⅠAⅡBⅢ

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 a b は, -1<x <1 に対して - 3<x2 -2a x+b <5 を満たすものとする.ただし, a>0 とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 点 ( a,b ) が表す領域を図示せよ.

(2) 座標平面上で,直線 x =0 直線 x =1 直線 y =-3 曲線 y =x2 -2a x+b で囲まれる図形の面積 S a b を用いて表せ.

(3) (2)の S の取りうる値の範囲を求めよ.

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数学 ⅠAⅡBⅢ

配点75点

易□ 並□ 難□

【3】 楕円 C x24 +y2 =1 の焦点を F ( a,0) F ( -a,0 ) とおく.ただし, a>0 とする.また, C 上の点 P ( b,c ) に対して, FPF の二等分線と x 軸との交点を Q とする.ただし, bc 0 とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)  F P:FP =F Q:FQ であることを示せ.

(2)  FQ FP の値を求めよ.

(3) 直線 PQ の傾きは 4c b であることを示せ.

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数学 ⅠAⅡBⅢ

配点75点

易□ 並□ 難□

【4】 座標平面において, C y= e-x x>0 上の点 ( a,e -a ) の接線を L とおき, L x 軸との交点を A L y 軸との交点を B 原点を O とする.三角形 OAB の面積を S 1 とし, y 軸, L C で囲まれる図形の面積を S 2 とおく.

(1)  S1 S2 をそれぞれ求めよ.

(2)  a>0 のとき, ( a-1) ea +1>0 であることを示せ.

(3)  S 2S1 a の関数とみたとき,区間 ( 0, ) で単調に増加することを示せ.

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