2016　信州大学　前期　経済，理，医MathJax

【１】　$2$つの変量$x\text{，}y$のデータが，$n$個の$x\text{，}y$の値の組として

$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}(x_n,y_n)$

のように与えられているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}\bar{y}$とするとき，変量$x$と$y$の共分散$x_{xy}$は

$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k{y}_k)-\bar{x}\bar{y}$

であることを示せ．

(2)　これらのデータの間には，$y_k=a{x}_k+b\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$という関係があるとする．ただし，$a\text{，}b$は実数で，$a\ne 0$である．変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=x^2$と，$C$上の点${\mathrm{P}}_1(-1,1)$と${\mathrm{P}}_2(3,9)$を考える．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}\text{，}{\mathrm{P}}_1$における接線と${\mathrm{P}}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(5)　線分${\mathrm{P}}_2\mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$$(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\beta$$(0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．さらに，$\angle \mathrm{BOC}=\alpha +\beta \text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$であるとする．$▵\mathrm{OAB}\text{，}$$▵\mathrm{OAC}\text{，}$$▵\mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s\text{，}$$t\text{，}$$u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を，それぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

(2)　$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．

(3)　$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

【５】　半直線$l\text{：}y=x\text{（}x\geqq 0\text{），}$放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と半直線$l$が接する点の座標を求めよ．

(2)　$t\geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$l$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$l$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　放物線$C$と半直線$l$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$l$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【６】　$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{n}dx={\displaystyle \frac{4^n{(n!)}^2}{(2n+1)!}}$を示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}={\displaystyle \frac{4^n{(n!)}^2}{(2n+1)!}}$を示せ．

【７】　群に分けられた数列

$1\left|2\text{，}4\text{，}2\right|3\text{，}6\text{，}9\text{，}6\text{，}3\left|4\text{，}8\text{，}12\text{，}16\text{，}12\text{，}8\text{，}4\right|\cdots$

を，第$n$群が$(2n-1)$個の項

$n\text{，}2n\text{，}\cdots \text{，}(n-2)n\text{，}(n-1)n\text{，}{n}^2\text{，}(n-1)n\text{，}(n-2)n\text{，}\cdots \text{，}2n\text{，}n$

からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　与えられた数列の初項から第$n$項の末項までの項数を求めよ．

(2)　第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．

(3)　最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．

【８】　${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{Q}}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点${\mathrm{P}}_k\text{，}{\mathrm{Q}}_k$

を以下の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすものとして定める．

(ⅰ)　線分${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{Q}}_{k-1}$を${\mathrm{P}}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{Q}}_k$となる．

(ⅱ)　線分${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{Q}}_k$を${\mathrm{Q}}_k$を中心として角${\theta }^{\prime }$だけ回転させた線分が${\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_k$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{Q}}_{k+2}={\mathrm{Q}}_k$となるための，$\theta$と${\theta }^{\prime }$に関する条件を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi \text{，}\theta =-{\theta }^{\prime }\text{，}\left|{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{P}}_0\right|=1$とする．${\mathrm{Q}}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．${\mathrm{P}}_{n-1}$は$C$の内部，${\mathrm{Q}}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ，