2016　信州大学　後期　理，繊維学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$とする．$t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$t\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$が垂直になるように，正の実数$t$の値を定めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　平面上の点$\mathrm{A}(60,0)\text{，}\mathrm{B}(0,50)$を結ぶ線分上にあり，$x$座標，$y$座標が共に整数であるような点の個数を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^3}|x^3-2x^2-3x|dx$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$2^{2016}$を$11$で割った余りを求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\cos x+x\sin x$は，次の等式を満たすことを示せ．

$x{y}^{″}-2y^{\prime }+xy=0$

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^9}{e}^{-\sqrt{x}}dx$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　次の関数$f(x)$を微分せよ．

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{x^4}{3}}\right)}^x\text{（}x>0\text{）}$

【３】　放物線$y=x^2$上の$2$点$(t,t^2)\text{，}(s,s^2)$における接線$l_1\text{，}{l}_2$が垂直に交わっているとき，以下の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)　$l_1$と$l_2$の交点の$y$座標を求めよ．

(2)　直線$l_1\text{，}{l}_2$および放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積$S$を$t$の式で表せ．

(3)　$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

【４】　$p>0$を定数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次の条件(＊)を満たすような実数$c$の最小値を求めよ．

(2)　$0<a<1$とする．次の条件(＊＊)を満たすような実数$c$の最小値を求めよ．

【５】　自然数$x\text{，}y$の最大公約数を$\gcd (x,y)$と書く．$N$を素数でない自然数とし，$l$と$m$は以下の条件(a)，(b)を満たす自然数とする．

(a)　$l$は$0<l<N$かつ$\gcd (l,N)\ne 1$を満たす．

(b)　$m$は$m<\gcd (l,N)$を満たす．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p=m{\displaystyle \frac{N}{\gcd (l,N)}}$とおくとき，以下を証明せよ．

・$1<p<N$かつ$\gcd (p,N)\ne 1$

(2)　$q=l{\displaystyle \frac{\gcd (p,N)}{N}}$とおくとき，以下を証明せよ．

・$q$は自然数であり，$q<\gcd (p,N)$を満たす．