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2016 岐阜大学 前期

教育,地域科,工,医(医,看護),応用生物学部

配点率20%

易□ 並□ 難□

【1】 当たりくじ k 本を含む n 本のくじがある. A B C 3 人がこの順番で 1 本ずつくじを引く.ただし, k+3 n であり,引いたくじはもとに戻さないものとする.以下の問に答えよ.

(1)  k=1 のとき, C が当たりくじを引く確率を求めよ.

(2)  k=2 のとき, C が当たりくじを引く確率を求めよ.

(3)  k3 のとき, A B がともに当たりくじを引く確率を求めよ.

(4)  k3 のとき, A がはずれくじを引き,かつ B が当たりくじを引く確率を求めよ.

(5)  k3 のとき, C が当たりくじを引く確率を求めよ.

2016 岐阜大学 前期

教育,地域科,工,医(医,看護),応用生物学部

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】  α β a b c d を実数とする.以下の問に答えよ.

(1) 「すべての実数 x について x2+ αx+ β>0 である」が成り立つための α β に関する条件を求めよ.

(2)「すべての実数 y について a y+b <0 である」が成り立つための a b に関する条件を求めよ.

(3) 「すべての実数 x y について x 2+4 xy+4 y2 +5x +cy +d>0 である」が成り立つための c d に関する条件を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  - π2 <θ< π 2 のとき,以下の問に答えよ.

(1)  θ の方程式 cos 3θ +cosθ =0 を解け.

(2)  k を正の整数とする. θ の方程式

cos3 θ-k cosθ =0

が解をもつ k を求めよ.また,そのときの解 θ を求めよ.

(3)  m n を正の整数とする. θ の方程式

mcos θ- 3cos 3θ +n( 1+cos 2θ )=0

が解をもつ m n の組 ( m,n ) を求めよ.また,そのときの解 θ を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 数列 { rn } を初項 r1=1 公差 1 の等差数列とする.また,数列 { an } を次の式で定める.

an= rn2 + 14 n= 1 2 3

 以下の問に答えよ.

(1) 一般項 a n を求めよ.

(2) 円 C nx 2+ (y- an) 2= rn2 と放物線 P y= x2 の共有点の座標を求めよ.

(3) 円 C n と円 C n+1 の共有点 ( xn, yn ) の座標を求めよ.

(4) 円 C1 C 2 C 3 と放物線 P の概形を描け.

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易□ 並□ 難□

【5】  OAB において,辺 OA 1 :3 に内分する点を C OB 1 :2 に内分する点を D 線分 AD の中点を E とする. OA =a OB =b とする.以下の問に答えよ.

(1)  CE a b を用いて表せ.

(2) 直線 CE と辺 AB の交点を F とする. CF a b を用いて表せ.

(3) 辺 AB 7 :1 に外分する点を G とする. EG a b を用いて表せ.

(4) 内積 CE EG a b を用いて表せ.

(5)  OAB OA =OB となる直角二等辺三角形とするとき, CEG の大きさを求めよ.

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【4】  n を正の整数とする. Sn= k=1 n 1k 2n とおく.以下の問に答えよ.ただし, log は自然対数を表す.

(1)  1+x+ x2+ +x n-1 = 11- x- x n1- x を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし, x1 とする.

(2)  012 (1 +x+x 2+ +xn- 1) dx= log2- 012 xn1 -x dx を示せ.

(3)  Sn= log2- 012 xn1 -x dx を示せ.

(4)  0 01 2 x n1- x dx 1 2n log2 を示せ.

(5)  limx Sn= 1 12 + 12 22 + 13 23 + の値を求めよ.

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【5】  xy 平面上に,直線 l y=- x-2 と点 A ( 1,1 ) がある。点 A からの距離と直線 l からの距離が等しい点の軌跡を曲線 C とする.以下の問に答えよ.

(1) 曲線 C の方程式を求めよ.

(2) 曲線 C x 軸の共有点の座標を求めよ.

(3) 曲線 C x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

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