2016　静岡大学　前期MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,b)$の全体を座標平面上に図示せよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,b)$の全体を座標平面上に図示せよ．

【３】　異なる$n$個のものから$r$個を取る組合せの総数を${}_{n}C_r$で表す．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$2$以上の自然数$k$について，

${}_{k+3}C_4={}_{k+4}C_5-{}_{k+3}C_5$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{k+3}C_4$を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k^4+6k^3)$を求めよ．

【４】　ある高等学校の$3$年生は徒歩通学か自転車通学のいずれかである．このなかから調査対象の集団をいろいろと変えて，そのなかから生徒を無作為に$1$人選ぶ．

(ⅰ)　対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり，男子生徒である確率は$b$である．

(ⅱ)　対象の集団を男子生徒とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$c$である．

$a\text{，}b\text{，}c$を正の数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき，その生徒が男子生徒である確率を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$3$年生全体が$100$人で，自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする．$a=c$であるとき，$a$の値をすべて求めよ．

【１】　$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=1\text{，}c{(a_{n+1})}^n={(a_n)}^{n+1}\text{，}{a}_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\log a_n$とする（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$と${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\log a_k$をそれぞれ求めよ．

【２】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+y^2=1$を$C$とする．また，座標平面上の点$\mathrm{P}(v,w)$を通り，単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha ,\beta )$を方向ベクトルにもつ直線$l$の媒介変数$t$による表示を

$x=v+\alpha t\text{，}$$y=w+\beta t$

とする．直線$l$は$t=t_1\text{，}$$t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をもつとする．ただし，$\alpha >0\text{，}$$t_1\leqq t_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$t_1+t_2$と$t_1{t}_2$を$v\text{，}$$w\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|$を$v\text{，}w\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(3)　$\alpha =\beta$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|={\displaystyle \frac{6}{5}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　$x>1$のとき$\log x<2\sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減，凹凸を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(3)　定積分$I_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を以下で定義する．

$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^{n-1}}{x^2}}dx$

ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$I_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{e}}+n{I}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots$(＊)

(4)　等式(＊)を用いて，関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし，等式$z={\alpha }^2\bar{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$z={\alpha }^2\bar{z}$が成り立つことと，${\displaystyle \frac{z}{\alpha }}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．

(2)　複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^{\prime })$とする．このとき，$w^{\prime }$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)　$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{e}}}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【４】　$i$を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　複素数$c=1+i$について，$c$と共役な複素数$\bar{c}$および${\left|c\right|}^2$をそれぞれ求めよ．

(2)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$を満たすとする．このとき，$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$が実数であることを証明せよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$を複素数として$\alpha$の実部と虚部がともに正であるとする．また，$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$とする．複素数$i\alpha \text{，}{\displaystyle \frac{i}{\alpha }}\text{，}\beta$で表される複素数平面上の$3$点が，ある正三角形の$3$頂点であるとき，$\alpha \text{，}\beta$をそれぞれ求めよ．