2016　静岡大学　後期MathJax

【１】　$a$は$0<a<1$を満たす実数とし，$C$を曲線$y=\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{），}l$を直線$y=ax$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$と直線$l$の交点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{P}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$m$の方程式を求めよ．

(2)　接線$m\text{，}$曲線$C\text{，}y$軸で囲まれる図形$D_1$と，曲線$C\text{，}$直線$l$で囲まれる図形$D_2$を考える．図形$D_1\text{，}{D}_2$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とするとき，面積比${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めることにより，この面積比は$a$によらず一定であることを示せ．

(3)　図形$D_2$を$x$軸，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積をそれぞれ$V_x\text{，}{V}_y$とする．${\displaystyle \frac{V_y}{V_x}}={\displaystyle \frac{8}{7}}$のとき，$a$の値を求めよ．

【２】　実数全体で定義された関数

$f_1(x)=1\text{，}{f}_{n+1}(x)=1-{\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　次の等式が成り立つことを証明せよ．

$e^{-x}=1-{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}dt$

(4)　$n$を正の整数とし，$x>0$とする．このとき，不等式

$|e^{-x}-f_n(x)|\leqq {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

を証明せよ．ただし$e$は自然対数の底である．

【１】　$n$を正の整数とする．$100$を分母とする正の既約分数のうち${\displaystyle \frac{n}{10}}$以下の数を小さい方から順に並べた数列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$とし，その項数を$m_n$とする．また，この数列の総和を$S_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$m_n\text{，}{S}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n-S_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{n-1}{10}}<a_k\leqq {\displaystyle \frac{n}{10}}$を満たす$k$をすべて求めよ．

(4)　$a_{4n-3}\text{，}{a}_{4n-2}\text{，}{a}_{4n-1}\text{，}{a}_{4n}$およびこれらの総和$b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{OAPB}$において，頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$は，この順に反時計回りに並んでいる．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とおく．$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{OC}={\displaystyle \frac{3}{2}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．直線$\mathrm{OC}$は，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円に$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$で交わっている．ただし，$\mathrm{OQ}<\mathrm{OR}$とする．$\mathrm{QR}=6$であるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(2)　$r$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　複素数平面上で，等式

$4\left|z\right|-\sqrt{3}(z+\bar{z})-2=0\cdots$(＊)

を満たす複素数$z$の表す図形を$C$とする．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　図形$C$の概形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$\theta$を実数とする．等式(＊)を満たし，偏角が$\theta$である複素数$z$の絶対値$f(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$n$を$2$以上の整数とする．任意の実数$\theta$に対して，和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{f(\theta +{\displaystyle \frac{2(k-1)\pi }{n}})}}$

の値を求めることにより，この和は$\theta$によらず一定であることを証明せよ．

【２】　関数$f(x)=\cos x+\sin x\text{（}-\pi \leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}xf(x)dx$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\sin 3xdx$を求めよ．

【４】　$t$を実数とする．関数$f(\theta )={\sin }^2\theta +2t\cos \theta +1\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$の最小値，最大値をそれぞれ$x\text{，}y$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$x\text{，}y$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，点$(x,y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．