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2016-10481-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁)へ
2016 名古屋大学 前期
文科系
理科系【1】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 y =x2 上に 2 点 A ( -1,1 ), B (b ,b2 ) をとる.ただし b >-1 とする.このとき,次の条件を満たす b の範囲を求めよ.
条件: y=x 2 上の点 T ( t,t2 ) ( -1<t <b ) で, ∠ATB が直角になるものが存在する.
2016-10481-0102
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【2】 n を正の整数とし, k を 1 ≦k≦n +2 を満たす整数とする. n+2 枚のカードがあり,そのうちの 1 枚には数字 0 が,他の 1 枚には数字 2 が,残りの n 枚には数字 1 が書かれている.この n +2 枚のカードのうちから無作為に k 枚のカードを取り出すとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 1 以上になる確率を求めよ.
(2) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 2 となる確率 Q n⁡( k) を求めよ.
(3) 与えられた n に対して,確率 Qn⁡ (k ) が最大となる k の値と,その最大値を求めよ.
2016-10481-0103
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【3】 正の整数 n に対して,その( 1 と自分自身を含めた)すべての正の約数の和を s ⁡(n ) と書くことにする.このとき,次の問に答えよ.
(1) k を正の整数, p を 3 以上の素数とするとき, s⁡( 2k⁢ p) を求めよ.
(2) s⁡( 2016) を求めよ.
(3) 2016 の正の約数 n で, s⁡( n)= 2016 となるものをすべて求めよ.
2016-10481-0104
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理科系
文科系【1】の類題
【1】 曲線 y =x2 上に 2 点 A ( -2,4 ), B (b ,b2 ) をとる.ただし b >-2 とする.このとき,次の条件を満たす b の範囲を求めよ.
条件: y=x 2 上の点 T ( t,t2 ) ( -2<t <b ) で, ∠ATB が直角になるものが存在する.
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文科系【3】の類題
【2】 2 つの円 C :( x-1) 2+ y2=1 と D :( x+2) 2+y 2=7 2 を考える.また原点を O ( 0,0 ) とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 円 C 上に, y 座標が正であるような点 P をとり, x 軸の正の部分と線分 OP のなす角を θ とする.このとき,点 P の座標と線分 OP の長さを θ を用いて表せ.
(2) (1)でとった点 P を固定したまま,点 Q が円 D 上を動くとき, ▵OPQ の面積が最大になるときの Q の座標を θ を用いて表せ.
(3) 点 P が円 C 上を動き,点 Q が円 D 上を動くとき, ▵OPQ の面積の最大値を求めよ.
ただし,(2),(3)においては, 3 点 O ,P , Q が同一直線上にあるときは, ▵OPQ の面積は 0 であるとする.
2016-10481-0106
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【3】 玉が 2 個ずつ入った 2 つの袋 A ,B があるとき,袋 B から玉を 1 個取り出して袋 A に入れ,次に袋 A から玉を 1 個取り出して袋 B に入れる,という操作を 1 回の操作と数えることにする. A に赤玉が 2 個, B に白玉が 2 個入った状態から始め,この操作を n 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が k 個である確率を Pn⁡ (k ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) k=0 , 1 ,2 に対する P1⁡ (k ) を求めよ.
(2) k=0 , 1 ,2 に対する Pn⁡ (k ) を求めよ.
2016-10481-0107
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文科系【2】の類題
【4】 次の問に答えよ.ただし 2 次方程式の重解は 2 つと考える.
(1) 次の条件(*)を満たす整数 a , b ,c , d ,e , f の組をすべて求めよ.
(*) { 2 次方程式 x2+ a⁢x+b =0 の2 つの解が c , d である. 2 次方程式 x2 +c⁢x +d=0 の 2 つの解が e , f である. 2 次方程式 x2+ e⁢x+ f=0 の 2 つの解が a, b である.
(1) 2 つの数列 { an }, { bn } は,次の条件(**)を満たすとする.
(**)すべての正の整数 n について, an , bn は整数であり, 2 次方程式 x2+ an⁢ x+bn =0 の 2 つの解が an+1 ,b n+1 である.
このとき,
(ⅰ) 正の整数 m で, |b n|= |b n+1 |= |b n+2 |=⋯ となるものが存在することを示せ.
(ⅱ) 条件(**)を満たす数列 { an }, { bn } の組をすべて求めよ.