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2016 名古屋大学 前期

文科系

理科系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =x2 上に 2 A ( -1,1 ) B (b ,b2 ) をとる.ただし b >-1 とする.このとき,次の条件を満たす b の範囲を求めよ.

条件: y=x 2 上の点 T ( t,t2 ) -1<t <b で, ATB が直角になるものが存在する.

2016 名古屋大学 前期

文科系

易□ 並□ 難□

【2】  n を正の整数とし, k 1 kn +2 を満たす整数とする. n+2 枚のカードがあり,そのうちの 1 枚には数字 0 が,他の 1 枚には数字 2 が,残りの n 枚には数字 1 が書かれている.この n +2 枚のカードのうちから無作為に k 枚のカードを取り出すとする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 1 以上になる確率を求めよ.

(2) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 2 となる確率 Q n( k) を求めよ.

(3) 与えられた n に対して,確率 Qn (k ) が最大となる k の値と,その最大値を求めよ.

2016 名古屋大学 前期

文科系

易□ 並□ 難□

【3】 正の整数 n に対して,その( 1 と自分自身を含めた)すべての正の約数の和を s (n ) と書くことにする.このとき,次の問に答えよ.

(1)  k を正の整数, p 3 以上の素数とするとき, s( 2k p) を求めよ.

(2)  s( 2016) を求めよ.

(3)  2016 の正の約数 n で, s( n)= 2016 となるものをすべて求めよ.

2016 名古屋大学 前期

理科系

文科系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =x2 上に 2 A ( -2,4 ) B (b ,b2 ) をとる.ただし b >-2 とする.このとき,次の条件を満たす b の範囲を求めよ.

条件: y=x 2 上の点 T ( t,t2 ) -2<t <b で, ATB が直角になるものが存在する.

2016 名古屋大学 前期

理科系

文科系【3】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの円 C ( x-1) 2+ y2=1 D ( x+2) 2+y 2=7 2 を考える.また原点を O ( 0,0 ) とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 円 C 上に, y 座標が正であるような点 P をとり, x 軸の正の部分と線分 OP のなす角を θ とする.このとき,点 P の座標と線分 OP の長さを θ を用いて表せ.

(2) (1)でとった点 P を固定したまま,点 Q が円 D 上を動くとき, OPQ の面積が最大になるときの Q の座標を θ を用いて表せ.

(3) 点 P が円 C 上を動き,点 Q が円 D 上を動くとき, OPQ の面積の最大値を求めよ.

ただし,(2),(3)においては, 3 O P Q が同一直線上にあるときは, OPQ の面積は 0 であるとする.

2016 名古屋大学 前期

理科系

易□ 並□ 難□

【3】 玉が 2 個ずつ入った 2 つの袋 A B があるとき,袋 B から玉を 1 個取り出して袋 A に入れ,次に袋 A から玉を 1 個取り出して袋 B に入れる,という操作を 1 回の操作と数えることにする. A に赤玉が 2 個, B に白玉が 2 個入った状態から始め,この操作を n 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が k 個である確率を Pn (k ) n=1 2 3 とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)  k=0 1 2 に対する P1 (k ) を求めよ.

(2)  k=0 1 2 に対する Pn (k ) を求めよ.

2016 名古屋大学 前期

理科系

文科系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 次の問に答えよ.ただし 2 次方程式の重解は 2 つと考える.

(1) 次の条件(*)を満たす整数 a b c d e f の組をすべて求めよ.

(*) { 2 次方程式 x2+ ax+b =0 2 つの解が c d である. 2 次方程式 x2 +cx +d=0 2 つの解が e f である. 2 次方程式 x2+ ex+ f=0 2 つの解が a b である.

(1)  2 つの数列 { an } { bn } は,次の条件(**)を満たすとする.

(**)すべての正の整数 n について, an bn は整数であり, 2 次方程式 x2+ an x+bn =0 2 つの解が an+1 b n+1 である.

このとき,

(ⅰ) 正の整数 m で, |b n|= |b n+1 |= |b n+2 |= となるものが存在することを示せ.

(ⅱ) 条件(**)を満たす数列 { an } { bn } の組をすべて求めよ.

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