2016　名古屋工業大学　前期MathJax

2016　名古屋工業大学　前期

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ のグラフを曲線 $C$ とする．

(1)　関数 $f (x)$ の極値を求めよ．

(2)　曲線 $C$ の変曲点を求めよ．

(3)　曲線 $C$ 上の点 $(0, f (0))$ における接線を $l$ とする．曲線 $C$ と接線 $l$ とで囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

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【２】　数列 ${a_{n}}$ は

$a_{1} = 4 ， a_{n + 1} = \frac{(3 n + 4) a_{n} - 9 n - 6}{(n + 1) a_{n} - 3 n - 1} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

を満たす．

(1)　すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} > 3$ であることを示せ．

(2)　 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 3}$ とおく． $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ と $n$ の式で表せ．

(3)　(2)で定めた数列 ${b_{n}}$ に対し $c_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ とおく．数列 ${c_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　数列 ${a_{n}}$ に一般項を求めよ．

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【３】　座標空間内に

$O (0, 0, 0) ， A (1, 2, 2) ， B (1, 0, - 1) ， C (2, - 1, 1)$

を頂点とする四面体 $OABC$ がある． $t > 0$ に対して半直線 $OB$ 上の点 $P$ を $OB : OP = 1 : t$ となるようにとる．

(1)　内積 $\vec{AC} \cdot \vec{AP}$ を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $▵ APC$ の面積を $S (t)$ とおく． $S (t)$ が最小になる $t$ の値と，そのときの $S (t)$ の値を求めよ．

(3)　点 $Q$ は直線 $OB$ 上にあり，点 $R$ は直線 $AC$ 上にある．線分 $QR$ の長さの最小値と，そのときの点 $R$ の座標を求めよ．

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【４】　実数 $t$ に対し，複素数

${(\frac{1}{2} + \cos t + i \sin t)}^{2}$

の実部を $f (t) ，$ 虚部を $g (t)$ とする．

　座標平面上に曲線 $C ： x = f (t) ， y = g (t) （ 0 ≦ t ≦ π ）$ がある．

(1)　 $0 ≦ t ≦ π$ のとき $f (t)$ のとる値の範囲を求めよ．

(2)　曲線 $C$ 上の点 $P (f (\frac{π}{3}), g (\frac{π}{3}))$ における接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線 $C$ の $y ≦ 0$ の範囲にある部分と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．