2016　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$a$の正方形$S_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$S_2$を描いて，正方形$S_1$から正方形$S_2$を除いた領域$B_1$を黒く塗る．次に正方形$S_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$S_3$を描いて，正方形$S_2$から正方形$S_3$を除いた領域$W_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$S_m$の内接円に内接する正方形$S_{m+1}$を描き，正方形$S_m$から正方形$S_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$から$S_2$を除いた黒い領域$B_1$の面積を$a$を用いて表せ．

(2)　$S_2$から$S_3$を除いた白い領域$W_1$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　$1$番目の黒い領域$B_1$から$n$番目の黒い領域$B_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．

(4)　黒い領域$B_1$から$B_n$までの面積の和において，$n\to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．

(5)　$1$番目の白い領域$W_1$から$n$番目の白い領域$W_n$までの面積の和を求め，$n\to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に${\displaystyle \frac{P}{Q}}$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．なお，点$\mathrm{A}$の座標を$(r,0)\text{，}\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り、この円に接する接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　接線$l$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．

(4)　接線$l$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．

(5)　$r=1\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，接線$l$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．

【３】　$xy$平面上において，媒介変数$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$によって$x=a(2\cos \theta +\cos 2\theta +1)\text{，}y=a(2\sin \theta +\sin 2\theta )$と表される右図の曲線について考える．ただし，$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}\text{，}{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}$を求めよ．

(2)　$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}\text{，}y$が最大となる点を点$\mathrm{B}\text{，}x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める．このとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ．

(3)　曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．

(1)　赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が${\displaystyle \frac{1}{5}}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．

(2)　企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．

ア．$1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．

イ．$1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．

ウ．赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．