2016　愛知教育大学　後期MathJax

【１】　$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．次の問いに答えよ．

問１　$2$枚のカードに書かれた数のうち，大きい方の値が$10$以上である確率を求めよ．

問２　$2$枚のカードに書かれた数の和が奇数である確率を求めよ．

問３　$2$枚のカードに書かれた数の積が$6$の倍数である確率を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,a)$をとり，線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\mathrm{S}$を線分$\mathrm{BC}$上の点とし，$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあるとする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．

問２　$\angle \mathrm{PQS}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，$a$の値を求めよ．

問３　問２の条件のもとで，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を求めよ．

【３】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=x^3-x$と点$\mathrm{A}(1,0)$がある．次の問いに答えよ．

問１　曲線$C$の接線で，点$\mathrm{A}$を通るような接線の方程式をすべて求めよ．

問２　点$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線$l$が曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

問３　問２における異なる$3$つの交点の$x$座標を，小さい方から順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$とする．$a_2=1$のとき，曲線$C$と直線$l$によって囲まれた$2$つの部分の面積の和を$k$を用いて表せ．

【４】　座標平面を考え，その原点を$\mathrm{O}$とする．直線$y=1$上に点$\mathrm{P}$を取り，点$\mathrm{Q}$を$▵\mathrm{OPQ}$が正三角形となるように定める．ただし，$▵\mathrm{OPQ}$の頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はこの順で時計回りに並んでいるものとする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$が直線$y=1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を極方程式で表せ．

問２　問１で求めた極方程式を直交座標についての方程式で表せ．

【５】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=e^t\cos t\text{，}y=e^t\sin t$

で表されるとする．また，時刻$0$から$1$までに$\mathrm{P}$が通過する道のりを$t$の関数とみて$l(t)$と表す．次の問いに答えよ．

問１　$l(t)$を$t$を用いた式で表せ．

問２　$s=l(t)\text{（}t\geqq 0\text{）}$とする．このとき，$t$を$s$の式で表せ．

問３　問２の結果を用いて，$x$と$y$を$s$の関数として表せ．

問４　${\left({\displaystyle \frac{dx}{ds}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{ds}}\right)}^2$を求めよ．