2016　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$1\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0\leqq k\leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

【２】　数列

${\displaystyle \frac{1}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{3}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{n}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{n-1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{n}{n}}\text{，}\cdots$

を次のような群に分ける．

$\begin{array}{cccccc}{\displaystyle \frac{1}{1}}& \left|{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\right|& {\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{3}}|& \cdots & \left|{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{n}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{n-1}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{n}{n}}\right|& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& \text{第}2\text{群}& \text{第}3\text{群}& & \text{第}n\text{群}& \end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　第$28$群に入るすべての項の和を求めよ．

(2)　第$n$群の最初の数が第何項かを求めよ．

(3)　第$2016$項を求めよ．

【３】　$6$個の数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$から異なる$5$個の数字を並べて$5$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．

(2)　$6$の倍数の個数を求めよ．

(3)　$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．

(4)　$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 1$のとき，不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$a$を$0$以上の定数とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$を変化させたとき，$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．