2016　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=14\text{，}\mathrm{BC}=15\text{，}\mathrm{CA}=13$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$について$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の垂心$\mathrm{H}$について$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求め，外心$\mathrm{O}$について$\overrightarrow{\mathrm{CO}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求め，内心$\mathrm{I}$について$\overrightarrow{\mathrm{CI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

【２】　分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}2$はそれぞれ${\displaystyle \frac{-1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{1}}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有理数の控えめな有理数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$に対して，集合$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩$を，

$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩=\{x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n|x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{は控えめな有理数}\}$

と定める．例えば$1$は$1\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{3}})+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 2$と表せるから，$S⟨-{\displaystyle \frac{1}{3}},2⟩$の要素である．

(1)　控えめな有理数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$が定める集合$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩$の要素は控えめな有理数であることを示せ．

(2)　$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S⟨a⟩=S⟨2^t⟩$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．

(3)　控えめな有理数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$が与えられたとき，$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩=S⟨b⟩$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．

(4)　$2016$が属する集合$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩$はいくつあるか．ただし$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$と$b_1\text{，}\cdots \text{，}{b}_m$が異なっていても，$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩=S⟨b_1,\cdots ,b_m⟩$であれば$S⟨a_1,\cdots ,a_n⟩$と$S⟨b_1,\cdots ,b_m⟩$は一つの集合として数える．

【３】　$a\text{，}b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

を$H$とする．正の実数$r\text{，}s$に対して，円$C\text{：}{(x-s)}^2+y^2=r^2$を考える．

(1)　$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．

(2)　$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．

(3)　$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,s)$を考えるとき，極限$\underset{r\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{s}{r}}$を求めよ．

【４】Ⅰ.　実数$a$に対して

$f(x)=2x^3-9a{x}^2+12a^{2}x$

とおく．定義域を$\{x|x\leqq 1\text{または}x\geqq 4\}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．

【４】Ⅱ.　$b$を実数とし，$x\geqq 0$における関数$g(x)$を

$g(x)=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}$

と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．

(1)　$b$を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=e^x\text{，}y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．