2016　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】 　空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり，

$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OC}=3\text{，}\angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，

$\mathrm{CD}=1$

とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$▵\mathrm{OBD}$の面積を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．

【２】　$a$を実数とする．関数

$f(x)=e^{ax}(1-{\displaystyle \frac{2}{x}})\text{（}x>0\text{）}$

を考える．$f^{\prime }(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)　$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^{\prime }(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．

(3)　$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^{\prime }(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1\text{，}{t}_2\text{（}{t}_1<t_2\text{）}$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．$0\leqq x\leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x\sin x}{1-\cos x}}& \text{（}0<x\leqq \pi \text{）}\\ a& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}}& \text{（}0<x\leqq \pi \text{）}\\ b& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

を考える．$f(x)\text{，}g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq \pi \\ 0\leqq y\leqq f(x)g(x)\end{array}$

の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　赤球，白球合わせて$2$個以上入っている袋に対して，次の条件(＊)を考える．

赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作(＊)を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作(＊)を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r\text{，}w$とする．

(1)　赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0\text{，}{p}_1\text{，}{p}_2$の値を求めよ．

(2)　$r=w$となる確率を求めよ．

(3)　$r>w$となる確率を求めよ．

(4)　$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．