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2016 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,

医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率30%

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

f(1)  a を正の実数とし, k 1 以上の実数とする. x についての 2 次方程式

x2- ka x+a- k=0

は,不等式

- 1a< s1

をみたすような実数解 s をもつことを示せ.

(2)  a 3 以上の整数とする. n2 +a a n+1 で割り切れるような 2 以上のすべての整数 n a を用いて表せ.

2016 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,

医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率35%

易□ 並□ 難□

【2】 曲線 C y= | 12 x2 -6| -2x を考える.

(1)  C と直線 L y=- x+t が異なる 4 点で交わるような t の値の範囲を求めよ.

(2)  C L が異なる 4 点で交わるとし,その交点を x 座標が小さいものから順に P1 P 2 P3 P 4 とするとき,

| P1 P2 |+ | P3 P4 | | P2 P 3 | =4

となるような t の値を求めよ.

(3)  t が(2)の値をとるとき, C と線分 P2 P3 で囲まれる図形の面積を求めよ.

2016 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,

医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率35%

理系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  1 以上 6 以下の 2 つの整数 a b に対し,関数 fn (x ) n=1 2 3 を次の条件(ア),(イ),(ウ)で定める.

(ア) f1 (x) =sin( πx) (イ) f2 n( x)= f2 n-1 ( 1a + 1b- x) n=1 2 3 (ウ) f2 n+1 (x )=f 2n (- x) n=1 2 3

以下の問いに答えよ.

(1)  a=2 b=3 のとき, f5 (0 ) を求めよ.

(2)  1 個のさいころを 2 回投げて, 1 回目に出る目を a 2 回目に出る目を b とするとき, f6 (0 )=0 となる確率を求めよ.

2016 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

文系【3】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  1 以上 6 以下の 2 つの整数 a b に対し,関数 fn (x ) n=1 2 3 を次の条件(ア),(イ),(ウ)で定める.

(ア) f1 (x) =sin( πx) (イ) f2 n( x)= f2 n-1 ( 1a + 1b- x) n=1 2 3 (ウ) f2 n+1 (x )=f 2n (- x) n=1 2 3

以下の問いに答えよ.

(1)  a=2 b=3 のとき, f5 (0 ) を求めよ.

(2)  a=1 b=6 のとき, k=1 100 (- 1)k f 2k (0 ) を求めよ.

(3)  1 個のさいころを 2 回投げて, 1 回目に出る目を a 2 回目に出る目を b とするとき, f6 (0 )=0 となる確率を求めよ.

2016 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1)  c を正の定数とする.正の実数 x y x +y=c をみたすとき,

(1+ 1 x) (1+ 1y )

の最小値を c を用いて表せ.

(2) 正の実数 x y z x +y+z =1 をみたすとき,

(1+ 1x ) (1+ 1y) (1- 4 3z )

の最大値を求めよ.

2016 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面において,原点 O を中心とする半径 r の円と放物線 y =2 (x -1) 2 は,ただ 1 つの共有点 ( a,b ) をもつとする.

(1)  a b c の値をそれぞれ求めよ.

(2) 連立不等式

ax 1 0 y2 ( x-1) 2 x 2+y2 r2

の表す領域を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

2016 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【4】 正の整数 n に対して

Sn = k= 1n 1 k

とおき, 1 以上 n 以下のすべての奇数の積を A n とする.

(1)  log2 n 以下の最大の整数を N とするとき, 2N An Sn は奇数の整数であることを示せ.

(2)  Sn =2+ m 20 となる正の整数の組 ( n,m ) をすべて求めよ.

(3) 整数 n 0 b<1 をみたす実数 b を用いて,

A20 S20 =a+b

と表すとき, b の値を求めよ.

2016 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

2016年大阪大前期理系【5】2016105610109の図

斜線部分が R 2

【5】 円上の 5 A B C D E は反時計回りにこの順に並び,円周を 5 等分している. 5 A B C D E を頂点とする正五角形を R 1 とする. AB =a CD =c とおき, a の大きさを x とする.

(1)  AC の大きさを y とするとき, x2 =y( y-x ) がなりたつことを示せ.

(2)  BC a c を用いて表せ.

(3)  R1 の対角線の交点として得られる R 1 の内部の 5 つの点を頂点とする正五角形を R 2 とする. R2 の一辺の長さを x を用いて表せ.

(4)  n=1 2 3 に対して, Rn の対角線の交点として得られる R n の内部の 5 つの点を頂点とする正五角形を R n+1 とし, Rn の面積を S n とする.

limn 1 S1 k=1 n (-1 )k +1 Sk

を求めよ.



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