2016　大阪大学　前期専門数学MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$r\text{，}s$を$r<s$である有理数とするとき，$r<c<s$をみたす無理数$c$が存在することを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$を$\alpha <\beta$である実数とするとき，$\alpha <q<\beta$をみたす有理数$q$が存在することを示せ．

(3)　$x$を有理数の定数とする．このとき，不等式$|x-{\displaystyle \frac{n}{m}}|<{\displaystyle \frac{1}{m^2}}$をみたすような自然数$m$と整数$n$を用いて${\displaystyle \frac{n}{m}}$の形に表すことができる有理数は有限個であることを示せ．

(4)　条件式$a_1=a_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により数列$\{a_n\}$を定め，$x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$とする．不等式

$|x-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}|<{\displaystyle \frac{1}{{a_n}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

【２】　座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．

(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の頂点のうち，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が格子点であるならば，$\mathrm{D}$も格子点であることを示せ．

(2)　$r$を正の実数とし，$n$を$5$以上の自然数とする．正$n$角形$P$は，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$r$の円$S$に内接するとし，$\mathrm{P}$の$1$つの頂点$\mathrm{B}$をとる．また，円周$S$上で$\mathrm{B}$の両隣にある$P$の頂点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$とし，四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるような点$\mathrm{D}$をとる．$\mathrm{OD}$の長さを$r$と$s$を用いて表せ．

(3)　実数$\theta$に対して，$\tan \theta$が有理数であるならば，任意の整数$k$に対して，$\cos (2k\theta )$および$\sin (2k\theta )$が有理数であることを示せ．

(4)　$\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{n}}\right)$が有理数となるような自然数$n$をすべて求めよ．