2016　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$1$から$20$までの整数を$1$つずつ書いた$20$枚のカードが入った袋がある．その袋からカードを$2$回引く．ただし，$1$回目に引いたカードを袋に戻してから$2$回目のカードを引く．$1$回目に引いたカードに書かれた整数を$a$とし，$2$回目に引いたカードに書かれた整数を$b$とする．

(1)　$a\text{，}b$が$2$または$3$を公約数にもつ確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が$2$または$3$または$5$を公約数にもつ確率を求めよ．

(3)　$n$を$2$以上$40$以下の整数とする．$a+b=n$となる確率を，$n$を用いて表せ．

(4)　$n$を$1$以上$20$以下の整数とする．$a\text{，}b$の最小値が$n$以下となる確率を，$n$を用いて表せ．

【２】　実数$a\text{，}b$に対して，座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{P}(1,0,a)\text{，}\mathrm{Q}(0,2,b)$を考える．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,1,1)$があるとき，$a$と$b$の関係を求め，$S$の最小値を求めよ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^x}{\sin }^{3}tdt$を求めよ．

(2)　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(e^{3x}-e^{3t}){\sin }^{3}tdt$について微分せよ．

(3)　$F^{\prime }(x)\geqq 0$を証明せよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)　方程式$z^n=1$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．

(2)　$c_0\text{，}{c}_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$を実数かつ$c_0\ne 0$とする．方程式

$c_0{z}^n+c_1{z}^{n-1}+\cdots +c_n=0$

のすべての解を${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}\cdots \text{，}{\alpha }_n$とするとき，${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$を$c_0\text{，}{c}_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}$を求めよ．