2016　神戸大学　前期MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　比$\left|\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{SC}}\right|$を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{QS}}\right|$を求めよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフが点$(-1,2)$を通るときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．

(1)　$ab\geqq cd+25$となる確率を求めよ．

(2)　$ab=cd$となる確率を求めよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．

(3)　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

・$2$つの整数$a\text{，}b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．

・$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．

・少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．

以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．

(ⅰ)　$a=18\text{，}b=30\text{，}c=-42\text{，}p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S\text{，}$および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．

(ⅱ)　$a$と$b$の最大公約数を$M\text{，}b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p$は$0$でない任意の整数とする．

(2)　自然数の列$\{a_n\}$を

$a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{），}{a}_1=3\text{，}{a}_2=4$

で定める．

(ⅰ)　$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

(ⅱ)　$a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

(1)　曲線$C$上の点を直交座標$(x,y)$で表したとき，${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=0$となる点，および${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=0$となる点の直交座標を求めよ．

(2)　$\underset{\theta \to \pi }{\lim }{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を求めよ．

(3)　曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．

(4)　曲線$C$の長さを求めよ．