2016　神戸大学　後期MathJax

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-\left|x\right|& \text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{）}\\ 0& \text{（}\left|x\right|>1\text{）}\end{array}$

とし，自然数$n$に対して$a_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}nf(nx)e^{-\left|x\right|}dx$とする．以下の問に答えよ．必要ならば，$-1\leqq x\leqq 0$をみたす実数$x$に対して不等式${\displaystyle \frac{x^3}{6}}\leqq e^x-1-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq 0$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(1)　$n\text{，}m$を$n>m$をみたす自然数とする．このとき$C_n$と$C_m$が共有点をもつような$r$の範囲を求めよ．

(2)　$n\text{，}m$を$n>m$をみたす自然数とし，$C_n$と$C_m$が共有点をもつとする．このとき自然数$i\text{，}j$が$m\leqq i<j\leqq n$をみたすならば，$C_i$と$C_j$は共有点をもつことを示せ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}{a}_{k+1}{b}_k={\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}{a}_k{b}_{k-1}$を示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}(2a_k-a_{k+1}-a_{k-1})b_k={\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}{a}_k(2b_k-b_{k+1}-b_{k-1})$を示せ．

(3)　$k$を整数とし，$\theta$を実数とする．

$2\sin k\theta -\sin (k+1)\theta -\sin (k-1)\theta =4{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\sin k\theta$

を示せ．

(4)　$i\text{，}j$を$1\leqq i<j\leqq 99$をみたす自然数とし，$a_k\text{，}{b}_k$を

$a_k=\sin k{\theta }_1\text{，}{b}_k=\sin k{\theta }_2\text{，}{\theta }_1={\displaystyle \frac{i\pi }{100}}\text{，}{\theta }_2={\displaystyle \frac{j\pi }{100}}$

とおく．このとき${\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}{a}_k{b}_k$を求めよ．

$f(x)=\log (1+x)-\log (1-x)-2x$

$g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{x^2}{6{(1+x)}^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{6{(1-x)}^2}}$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$0<x<1$のとき，$f(x)>0$を示せ．

(2)　$0<x<1$のとき，$g(x)<0$を示せ．

(3)　自然数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$0<\log (2n+1)-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}<{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6{(2n+1)}^2}}$