2016　和歌山大学　前期MathJax

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+2}{2a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また，数列$\{b_n\}$は

$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$に一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表し，$t$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとき，$s$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の内部にあるとき，$s$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，三角形の内部に周は含まれないものとする．

$f(t)=t^3-6t^2+9t$

の$-1\leqq t\leqq a$における最大値を$g(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$g(2)$と$g(5)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 5$の範囲で$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　$y=g(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=5$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(1)　$l$が$C$と共有点をもたないとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$l$が$C$と接するとき，$l$と$C$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　正の実数$a$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\log a)$と$l$の距離を$f(a)$とおく．$f(a)$の最小値を$t$を用いて表せ．

(1)　$\alpha \text{，}\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　$\beta$の値を求めよ．

(3)　$\angle {\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }$の大きさを求めよ．