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2016-10661-0201
2016 鳥取大学 後期工学部
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= |a⁢ x2+ 2⁢x+ b| について, f⁡( x) の最小値,およびそのときの x の値を求めよ.ただし, a ,b は実数の定数とする.
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【2】 図のような 1 辺の長さが 1 の正八面体 ABCDEF の対角線 BD と対角線 CE の交点を O とする.辺 AE , BC 上に点 P , Q をそれぞれ AP→ =s⁢ AE→ , BQ→ =t⁢ BC→ を満たすようにとるとき,以下の問いに答えよ.ただし, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とし, s , t はそれぞれ 0 ≦s≦1 , 0≦t ≦1 を満たす実数とする.
(1) PQ→ を s , t , a → ,b → , c → で表せ.
(2) PQ→ ⊥AE → , かつ, PQ→ ⊥BC → となるときの s , t の値を求めよ.
(3) t=2⁢ s を満たしながら s , t が変化するとき, | PQ→ |2 の最小値を求めよ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) 0 以上の整数 n , 1 以上の実数 a に対して, In= ∫ 1a xn⁢ ex⁢ dx とするとき,
In+ n⁢I n-1 =an ⁢ea -e ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
が成立することを示せ.
(2) x≧ 12 で定義される関数
f⁡( x)= 12 ⁢ ∫12 x (t⁢ et- 1t ⁢ e-t ) ⁢dt
が与えられているとする.曲線 y =f⁡( x) の 1 ≦x≦2 の部分の長さを l とするとき, l を求めよ.
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【4】 関数 f ⁡(x )= x x2 +1 について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡( x) の増減を調べ,最大値,最小値を求めよ.
(2) k を 0 <k<1 を満たす定数とする.直線 y =k⁢x と曲線 y =f⁡( x) で囲まれる部分の面積を k を用いて表せ.