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2016 島根大学 前期

教育,生物資源科,総合理工(数理・情報システム学科除く)学部

易□ 並□ 難□

【1】  1 から 5 までの数字を 1 つずつ書いた 5 枚のカードが箱に入っている.箱の中から 1 枚のカードを取り出してもとに戻すことを n 回続けて行う. k 回目に取り出したカードの数字を a k とし, k= 1n ak が偶数である確率を p n とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  p1 p2 を求めよ.

(2)  pn+ 1 p n を用いて表せ.

(3)  pn を求めよ.

2016 島根大学 前期

教育,生物資源科学部

易□ 並□ 難□

【2】 座標空間に原点 O と点 A ( 23 ,0,2 ) B ( 3,2 3,1 ) がある.次の問いに答えよ.

(1) 三角形 OAB は正三角形であることを示せ.

(2) 四面体 OABC が正四面体となるような点 C の座標を求めよ.

2016 島根大学 前期

教育,生物資源科学部

易□ 並□ 難□

【3】  p q α β を実数とし, p>0 q>0 α< β とする. 2 次関数 f (x )= p2 (x -α) 2 g (x )=q 2 (x- β) 2 について,次の問いに答えよ.

(1)  2 つの放物線 y =f( x) y =g( x) の交点の x 座標で, α β の間にあるものを求めよ.

(2)  αx β において, 2 つの放物線 y =f( x) y =g( x) x 軸とで囲まれた部分の面積 S を求めよ.

(3)  pq =1 であるとき, S を最大にする p q の値を求めよ.

2016 島根大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  k を自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)  n2 +7 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.

(2)  n2 +72 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.

(3)  n2 +7k が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.下図のように, 3 本の平行な道路 l1 l 2 l 3 があり, l1 l2 をつなぐ縦の道と, l2 l3 をつなぐ縦の道がそれぞれ n 本ずつ,交互に配置されているとする.

2016年島根大前期総合理工(数理・情報システム学科)学部【1】2016106810105の図

次の規則に従い図の X から出発して Pn Q n R n に到達する経路の個数をそれぞれ an b n c n とする.

(規則) l1 l 2 l 3 は一方通行であり,西方向には進むことができない.

また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.

次の問いに答えよ.

(1)  a2 b2 を求めよ.

(2)  an+ 1 an bn を用いて表せ.

(3)  bn =cn が成り立つことを証明せよ.

(4)  a1 b1 a2 b2 a k b k と順に並べてできる数列を { fn } n=1 2 3 とする. fn+ 2 fn f n+1 を用いて表せ.また,それを用いて a 7 を求めよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科),医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1)  2 次方程式 t2+5 t+2 =0 の解を α β とするとき, α2 +β2 の値を求めよ.

(2)  u v を実数とする. 2 次方程式 t2- ut+ v=0 が実数解をもつとき,点 ( u,v ) の存在範囲を図示せよ.

(3) 平面上の点 ( a,b ) が原点を中心とする半径 1 の円の内部を動くとき,点 ( a+b, ab ) の動いてできる領域を図示せよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科),医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 複素数平面上に点 O( 0) P( -1+3 i) Q (2 ) と,これら 3 点を通る円 C がある.ただし, I は虚数単位とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 複素数 - 1+3 i を極形式で表せ.ただし,偏角 θ の範囲は 0 θ< 2π とする.

(2)  OPQ の大きさを求めよ.

(3) 円 C と虚軸との交点のうち, O でない点を R とする. R を表す複素数を求めよ.

(4) 円 C の中心を表す複素数を c とする.点 z が円 C 上を動くとき,複素数 w = z-1 z-c がえがく図形を図示せよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科),医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【4】  0<α < π2 とする. xy 平面上の曲線 x 2cos 2α + y 2sin 2α = 1 cos2 α x 0 y 0 の部分を C (α ) とし,曲線 C (α ) y 軸,および直線 y =x で囲まれた図形を D (α ) で表す.次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C (α ) と直線 y =x の交点の座標を求めよ.

(2) 図形 D (α ) の面積 S (α ) を求めよ.

(3) 図形 D (α ) x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V (α ) を求めよ.

(4) (2),(3)で求めた S ( α) V (α ) に対して, limα +0 {V (α )} 2{ S( α) }3 を求めよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科除く)学部

易□ 並□ 難□

【2】  a b c を定数とする. 2 つの関数 f (x )= ( |x- a|- 1) 2 g (x) =-x2 +bx +c について,次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) のグラフの概形をかけ.

(2) 関数 f (x ) 0 x4 における最大値が 4 となるような a の値を求めよ.

(3)  a=1 のとき,不等式 f (x ) g( x) の解が - 1x 3 となるような b c の値を求めよ.

2016 島根大学 前期

総合理工(数理・情報システム学科除く)学部

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底である.

(1) 関数 f (x )= log xx について,極値を調べ, y=f (x ) のグラフの概形をかけ.ただし, limx logx x= 0 を用いてよい.

(2)  eπ >πe を示せ.

(3)  eπ <π e を示せ.

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