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2016-10681-0101
2016 島根大学 前期
教育,生物資源科,総合理工(数理・情報システム学科除く)学部
易□ 並□ 難□
【1】 1 から 5 までの数字を 1 つずつ書いた 5 枚のカードが箱に入っている.箱の中から 1 枚のカードを取り出してもとに戻すことを n 回続けて行う. k 回目に取り出したカードの数字を a k とし, ∑k= 1n ak が偶数である確率を p n とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) p1 , p2 を求めよ.
(2) pn+ 1 を p n を用いて表せ.
(3) pn を求めよ.
2016-10681-0102
教育,生物資源科学部
【2】 座標空間に原点 O と点 A ( 2⁢3 ,0,2 ), B ( 3,2⁢ 3,1 ) がある.次の問いに答えよ.
(1) 三角形 OAB は正三角形であることを示せ.
(2) 四面体 OABC が正四面体となるような点 C の座標を求めよ.
2016-10681-0103
【3】 p ,q , α ,β を実数とし, p>0 , q>0 , α< β とする. 2 次関数 f ⁡(x )= p2⁢ (x -α) 2 と g ⁡(x )=q 2⁢ (x- β) 2 について,次の問いに答えよ.
(1) 2 つの放物線 y =f⁡( x) と y =g⁡( x) の交点の x 座標で, α と β の間にあるものを求めよ.
(2) α≦x ≦β において, 2 つの放物線 y =f⁡( x) ,y =g⁡( x) と x 軸とで囲まれた部分の面積 S を求めよ.
(3) p⁢q =1 であるとき, S を最大にする p , q の値を求めよ.
2016-10681-0104
医(医学科)学部
【1】 k を自然数とする.次の問いに答えよ.
(1) n2 +7 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.
(2) n2 +72 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.
(3) n2 +7k が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ.
2016-10681-0105
総合理工(数理・情報システム学科)学部
【1】 n を自然数とする.下図のように, 3 本の平行な道路 l1 ,l 2 ,l 3 があり, l1 , l2 をつなぐ縦の道と, l2 , l3 をつなぐ縦の道がそれぞれ n 本ずつ,交互に配置されているとする.
次の規則に従い図の X から出発して Pn , Q n ,R n に到達する経路の個数をそれぞれ an ,b n ,c n とする.
(規則) l1 ,l 2 ,l 3 は一方通行であり,西方向には進むことができない.
また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.
次の問いに答えよ.
(1) a2 , b2 を求めよ.
(2) an+ 1 を an ,bn を用いて表せ.
(3) bn =cn が成り立つことを証明せよ.
(4) a1 , b1 , a2 , b2 , ⋯ ,a k ,b k ,⋯ と順に並べてできる数列を { fn } ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とする. fn+ 2 を fn ,f n+1 を用いて表せ.また,それを用いて a 7 を求めよ.
2016-10681-0106
総合理工(数理・情報システム学科),医(医学科)学部
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 2 次方程式 t2+5 ⁢t+2 =0 の解を α , β とするとき, α2 +β2 の値を求めよ.
(2) u ,v を実数とする. 2 次方程式 t2- u⁢t+ v=0 が実数解をもつとき,点 ( u,v ) の存在範囲を図示せよ.
(3) 平面上の点 ( a,b ) が原点を中心とする半径 1 の円の内部を動くとき,点 ( a+b, a⁢b ) の動いてできる領域を図示せよ.
2016-10681-0107
【3】 複素数平面上に点 O( 0) , P( -1+3 ⁢i) ,Q (2 ) と,これら 3 点を通る円 C がある.ただし, I は虚数単位とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 複素数 - 1+3 ⁢i を極形式で表せ.ただし,偏角 θ の範囲は 0 ≦θ< 2⁢π とする.
(2) ∠OPQ の大きさを求めよ.
(3) 円 C と虚軸との交点のうち, O でない点を R とする. R を表す複素数を求めよ.
(4) 円 C の中心を表す複素数を c とする.点 z が円 C 上を動くとき,複素数 w = z-1 z-c がえがく図形を図示せよ.
2016-10681-0108
【4】 0<α < π2 とする. xy 平面上の曲線 x 2cos 2⁡α + y 2sin 2⁡α = 1 cos2 ⁡α の x ≧0 ,y≧ 0 の部分を C ⁡(α ) とし,曲線 C ⁡(α ) と y 軸,および直線 y =x で囲まれた図形を D ⁡(α ) で表す.次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C ⁡(α ) と直線 y =x の交点の座標を求めよ.
(2) 図形 D ⁡(α ) の面積 S ⁡(α ) を求めよ.
(3) 図形 D ⁡(α ) を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V ⁡(α ) を求めよ.
(4) (2),(3)で求めた S ⁡( α) ,V⁡ (α ) に対して, limα →+0 {V ⁡(α )} 2{ S⁡( α) }3 を求めよ.
2016-10681-0109
【2】 a ,b , c を定数とする. 2 つの関数 f ⁡(x )= ( |x- a|- 1) 2 ,g⁡ (x) =-x2 +b⁢x +c について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフの概形をかけ.
(2) 関数 f ⁡(x ) の 0 ≦x≦4 における最大値が 4 となるような a の値を求めよ.
(3) a=1 のとき,不等式 f ⁡(x )≦ g⁡( x) の解が - 1≦x≦ 3 となるような b , c の値を求めよ.
2016-10681-0110
【3】 次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底である.
(1) 関数 f ⁡(x )= log ⁡xx について,極値を調べ, y=f⁡ (x ) のグラフの概形をかけ.ただし, limx →∞ log⁡x x= 0 を用いてよい.
(2) eπ >πe を示せ.
(3) eπ <π e を示せ.