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2016-10681-0401
2016 島根大学 推薦I総合理工(数理・情報システム)学部数理
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 複素数平面上で, 0 でない複素数 z 1 ,z 2 の極形式を
z1 =r1 ⁢( cos⁡θ 1+i⁢ sin⁡θ 1) ,z 2=r 2⁢( cos⁡θ 2+i⁢ sin⁡θ 2)
とする.次が成り立つことを示せ.
z1z 2= r 1r2 ⁢ {cos ⁡( θ1- θ2 )+i ⁢sin⁡ (θ 1-θ 2) }
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(2) a>0 , b>0 のとき, a+b 2≧ a⁢b を示せ.さらに等号が成立する条件を求めよ.
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(3) 三角関数の加法定理を用いて, sin⁡( a+b) -sin⁡a= 2⁢cos⁡ ( a+ b2 )⁢ sin⁡ b2 を示せ.
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【2】 s を実数, t を正の数とし,平面上の三角形 ▵ ABC は AB = 22 ⁢ t ,AC =2 および ∠ BAC=45⁢ ° を満たすものとする.点 P ,Q を
AP→ =2⁢ AB→ +(s -1) ⁢AC→ , AQ→ =AB→ +s⁢ AC→
を満たすようにとる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積 AP→ ⋅AQ → を求めよ.
(2) t=1 のとき, ∠PAQ= 90⁢ ° となるための s の値を求めよ.
(3) ∠PAQ< 90⁢ ° がすべての s に対して成り立つような t の範囲を求めよ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) 微分可能な 2 つの関数 f ⁡(x ) と g ⁡(x ) の積で表される関数 f ⁡(x )⁢g ⁡(x ) は微分可能で,その導関数が次の等式を満たすことを導関数の定義にしたがって示せ.
{f⁡ (x) ⁢g⁡ (x) }′= f′⁡( x)⁢ g⁡( x)+f ⁡(x )⁢g ′⁡( x)
(2) 微分可能な 3 つの関数 f ⁡(x ), g⁡ (x ), h⁡ (x ) の積で表される関数 f ⁡(x )⁢g ⁡(x )⁢h ⁡(x ) の導関数が次の等式を満たすことを示せ.
{f ⁡(x )⁢g ⁡(x )⁢h ⁡(x )} ′=f′ ⁡(x )⁢g ⁡(x )⁢h ⁡(x )+f⁡ (x) ⁢g′⁡ (x) ⁢h⁡( x)+ f⁡( x)⁢ g⁡( x)⁢ h′⁡( x)
(3) 導関数の定義にしたがって f ⁡(x )= 1+x3 を微分せよ.
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【4】 f⁡( x)= (log⁡ x) 2x とおく.次の問いに答えよ.
(1) 不定積分 ∫f⁡ (x )⁢ dx を求めよ.
(2) x>1 における f ⁡(x ) の最大値を求めよ.
(3) x>1 における曲線 y =f⁡( x) の凹凸を調べよ.