2016　岡山大学　前期MathJax

【１】　複素数$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　${\omega }^2+{\omega }^4\text{，}{\omega }^5+{\omega }^{10}$の値を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，${\omega }^n+{\omega }^{2n}$の値を求めよ．

(3)　$n$を正の整数とするとき，

${(\omega +2)}^n+{({\omega }^2+2)}^n$

が整数であることを証明せよ．

【２】　座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0,-1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,t,0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,v,0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．

(2)　$s\text{，}t$をそれぞれ$u\text{，}v$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1\text{（}{a}^2+b^2\ne 0\text{）}$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．

【３】　ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u\text{，}v\text{，}w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2)$を

$a_1=u\text{，}{a}_2=0\text{，}{b}_1=v\cos {\displaystyle \frac{(w+2)\pi }{12}}\text{，}{b}_2=v\sin {\displaystyle \frac{(w+2)\pi }{12}}$

で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,0)$とする．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$が大きさ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

(2)　$a=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{9}}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．

(3)　不等式

$-{\displaystyle \frac{1}{5}}<\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{9}}<-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

を証明せよ．

【１】　$p$は素数とする．正の整数$n$に対し，$p^d$が$n$の約数となる整数$d\text{（}d\geqq 0\text{）}$のなかで最大のものを$f(n)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$p=3\text{，}n=3^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．

(2)　$p=5\text{，}n=5^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．

(3)　$m$が正の整数で$n=p^m!$のとき$f(n)$を求めよ．

【３】　$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．

$f_a(x)=ax{e}^{-\frac{x}{a}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$a$が区間$1\leqq a\leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．

(3)　$x\geqq 0$における曲線$y=f_1(x)\text{，}y=f_2(x)$と(2)の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,0,-1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,t,0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,v,0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．

(2)　$s$を$u\text{，}v$を用いて表せ．

(3)　$l$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$l$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．