2016　広島大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，座標平面上において，

円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}$放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+1$

を考える．$C_1$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$における$C_1$の接線$l$は点$\mathrm{Q}(s,t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$および$a$を求めよ．

(2)　$C_2\text{，}l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2\text{，}l$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{DBC}=90\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{BCD}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}=1$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　対角線$\mathrm{BD}$の長さの$2$乗${\mathrm{BD}}^2$を求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の長さの$2$乗${\mathrm{AC}}^2$を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{BAC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{ACD}=\beta$とおくとき，${\cos }^2\alpha \text{，}{\cos }^2\beta$を求めよ．

【３】　座標空間に$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(s,s,s)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$

がある．ただし，$s>0$とする．$t\text{，}u\text{，}v$を実数とし，

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u\overrightarrow{\mathrm{OA}}-v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{d}$のとき，$t$を$s$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{e}\text{，}\overrightarrow{d}\perp \overrightarrow{e}$のとき，$u\text{，}v$を$s$を用いて表せ．

(3)　(2)のとき，$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e}$

となる点とする．四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき，$s$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．

$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1\text{，}$裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,y_n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$(x_4,y_4)=(0,0)$となる確率を求めよ．

(2)　$(x_8,y_8)=(5,3)$となる確率を求めよ．

(3)　$x_8+y_8\leqq 4$となる確率を求めよ．

(4)　$x_{4n}+y_{4n}\leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　変量$x$のデータの値が$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$であるとし，

$f(a)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(x_k-a)}^2$

とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$の分散であることを示せ．

(2)　$c$を定数として，変量$y\text{，}z$の$k$番目のデータの値が

$\begin{array}{cc}{y}_k=k& \text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}\\ z_k=ck& \text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}\end{array}$

であるとする．このとき$y_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$の分散が$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．

(3)　変量$x$のデータの値が$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$であるとし，その平均値を$\bar{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}{x}_{n+1}$の平均値を$x_{n+1}\text{，}\bar{x}$および$n$を用いて表せ．

(4)　次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40\text{，}670\text{，}35$であった．

新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の定数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-a{e}^{-x}}{2}}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．

(3)　$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　複素数平面上を，点$\mathrm{P}$が次のように移動する．

1.　時刻$0$では，$\mathrm{P}$は原点にいる．時刻$1$まで，$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{Q}}_1(z_1)$とすると，$z_1=1$である．

2.　時刻$1$に$\mathrm{P}$は${\mathrm{Q}}_1(z_1)$において進行方向を${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転し，時刻$2$までその方向に速さ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{Q}}_2(z_2)$とすると，$z_2={\displaystyle \frac{3+i}{2}}$である．

3.　以下同様に，時刻$n$に$\mathrm{P}$は${\mathrm{Q}}_n(z_n)$において進行方向を${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転し，時刻$n+1$までその方向に速さ${\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^n$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{Q}}_{n+1}(z_{n+1})$とする．ただし$n$は自然数である．

$\alpha ={\displaystyle \frac{1+i}{2}}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$z_3\text{，}{z}_4$を求めよ．

(2)　$z_n$を$\alpha \text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が${\mathrm{Q}}_1(z_1)\text{，}{\mathrm{Q}}_2(z_2)\text{，}\cdots$と移動するとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく．$w$を求めよ．

(4)　$z_n$の実部が(3)で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ．

【５】　数列

$x_n=2^n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．この数列は$1\text{，}2\text{，}4\text{，}8\text{，}16\text{，}32\text{，}64\text{，}128\text{，}256\text{，}\cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1\text{，}2\text{，}4\text{，}8\text{，}6\text{，}2\text{，}4\text{，}8\text{，}6\text{，}\cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．

(2)　$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．

(3)　$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．

(4)　数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．