2016　広島大学　後期MathJax

【１】　空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0,2)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-k\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を満たす点を$\mathrm{P}$とする．実数$k$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-l\overrightarrow{\mathrm{OA}}-m\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点を$\mathrm{Q}$とする．実数$l\text{，}m$の値と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{OAB}$の面積，および四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$980x$を$2016$で割った余りが$28$となる整数$x$は存在するか．理由をつけて答えよ．

(2)　$1000x$を$2016$で割った余りが$28$となる整数$x$は存在するか．理由をつけて答えよ．

(3)　自然数$n$に対し，$1+2+\cdots +n$をで割った余りを求めよ．

(4)　$1$個のさいころを$3$回続けて投げて出た目の数を掛け合わせる．このとき得られる数を$3$で割ったら$1$余る確率を求めよ．

【３】　$a$は正の数とする．右図にあるように$8$個の点${\mathrm{A}}_1\text{〜}{\mathrm{A}}_8$を順に結んで正八角形を作る．また線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_5$と${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_8$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　三角形${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5\mathrm{P}$の面積を求めよ．

(4)　四角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\mathrm{P}$の面積を求めよ．

(5)　五角形${\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6{\mathrm{A}}_7{\mathrm{A}}_8\mathrm{P}$と四角形${\mathrm{A}}_8{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{P}$の面積はどちらが大きいか．理由をつけて答えよ．

【４】　$0\leqq x<2$となる実数$x$に対し，

$g(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{（}0\leqq x<1\text{のとき）}\\ 2-x& \text{（}1\leqq x<2\text{のとき）}\end{array}$

と定める。次に，実数$x\geqq 0$に対し，$2m\leqq x<2m+2$となる整数$m$を用いて

$f(x)=g(x-2m)$

と定める．さらに，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{2n}}{e}^{-x}f(x)dx$

で数列$\{a_n\}$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq 4$におけるグラフをかけ．

(2)　$a_1$を求めよ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．$b_n$を$n$の式で表せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【１】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$となるようにとる．次の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一平面上にあるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$を求めよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にないとする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$が最大となるときの$V$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_2{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{3}}-{\log }_4({\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}})$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を正の実数とする．${\log }_2(x+a)={\log }_4(b-x^2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数$x$が一つだけ存在するための$a\text{，}b$に関する条件を求めよ．

(3)　(2)で求めた条件を満たす点$(a,b)$の範囲を座標平面上に図示せよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を複素数とする．$z\bar{z}-\bar{a}z-a\bar{z}+b=0$を満たす点$z$の全体が複素平面上の円となるための$a\text{，}b$に関する条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$は複素数で，$\left|a\right|\ne 1\text{，}ab\ne 0$とし，$z={\displaystyle \frac{ab}{w+a}}$とする．複素平面上の点$w$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$は複素数で，$\left|a\right|\ne 1\text{，}ab\ne c$とし，$z={\displaystyle \frac{bw+c}{w+a}}$とする．複素平面上の点$w$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．

【４】　関数$f(x)=\cos x-\sqrt{3}\sin x+2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　$a$を実数とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}x=a$によって囲まれた部分の面積を$S(a)$と表す．$S(a)$の$-\pi <a\leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

【５】　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には白玉$1$個と黒玉$1$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$1$個を入れておく．初めに袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に移す．次に，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に移す．以下，同様に玉が$2$個入っている方の袋から玉を$1$個取り出して，もう一方の袋に移すという試行を繰り返す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$回玉を移した後，袋$\mathrm{A}$の玉が白玉である確率を，黒玉である確率をそれぞれ求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$2n-1$回玉を移した後，袋$\mathrm{A}$の玉が黒玉である確率を$p_n$と表す．$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(3)　(2)の$p_n$を$n$を用いて表せ．