2016 広島大学 AO入試理学部数学科MathJax

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2016 広島大学 AO入試

理学部数学科

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f ( t)= cos2 tcos t g (t )= cos2 tsin t について,以下の問いに答えよ.

(1) 次の等式が成り立つことを示せ.

( { f( t) }2 +{ g( t) }2 ) 3= ( {f (t )} 2- {g (t) }2 ) 2

(2)  0t 2π のとき, |f ( t) |= |g (t ) | を満たす t をすべて求めよ.

(3) 次の定積分を求めよ.

02 π {f (t )g ( t)- g( t) f (t) } dt

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易□ 並□ 難□

【2】 平面上の平行四辺形 OACB において, OA =a OB =b とする.対角線 AB 上の点 D をとり,辺 OA OB 上にそれぞれ点 E F ED OB が平行, FD OA が平行となるようにとる.ただし, D A B とは異なるとする.また, BE AF の交点を S とする. AD:DB =p:1 -p とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OE OF a b p を用いて表せ.

(2)  OS a b p を用いて表せ.

(3) 点 D が対角線 AB 上のどの位置にあっても, 3 G D S は一直線上にあることを示せ.

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【3】 以下の問いに答えよ.

(1)  x y は実数とする. t 2 次方程式 t2-x t+y =0 が実数解をもつような点 ( x,y ) の集合を座標平面に図示せよ.

(2) 次の連立不等式が表す領域を D とする.

a2 +b2 1 a >0 b >0

( a,b ) が領域 D 内を動くとき, x=a+ b y =ab によって定まる点 ( x,y ) の集合を座標平面に図示せよ.

(3) 点 ( a,b ) が(2)の領域 D 内を動くとき,

lgo2 a+ log2 b-log 2 (a+ b)

の最大値を求めよ.ただし, log2 a 2 を底とする a の対数である.

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【4】  f( x)= 1 ex +1 とする.ただし, e は自然対数の底である.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 y =f( x) の増減,グラフの凹凸および変曲点を調べ,そのグラフの概形をかけ.

(2) 関数 g (x ) のグラフは直線 y = 12 に関して関数 y =f (x ) のグラフと対称であるとする.このとき, g( x) を求めよ.

(3)  n を正の整数, g( x) を(2)で与えられた関数とする.曲線 y =f (x ) y =g (x ) および直線 x =n で囲まれた図形の面積 S n を求めよ.

(4) (3)の S n について limn S nn を求めよ.

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【5】  n 3 以上の整数とする.以下の問いに答えよ.

(1)  k 1 以上 n -1 以下の整数とする. n 人がじゃんけんを 1 回するとき,勝者が k 人である確率を求めよ.

(2)  n 人がじゃんけんを 1 回するとき,あいこにならない確率を求めよ.

(3)  n 人がじゃんけんをする. 1 回目ではあいこになり, 2 回目で勝者が 1 人となる確率を求めよ.

(4)  n 人がじゃんけんをする. 1 回目ではあいこにならずに勝者が 2 人以上となり, 1 回目の勝者だけで 2 回目のじゃんけんをしてその勝者が 1 人となる確率を求めよ.

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