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2016-10741-0101
2016 山口大学 前期
文系
国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )=x 3-3⁢ x2- 3⁢x+ 1 について,次の問いに答えなさい.
(1) 方程式 f ⁡(x )=0 の実数解をすべて求めなさい.
(2) f⁡( x) の増減,極値を調べ, y=f⁡ (x ) のグラフをかきなさい.
(3) 関数 y =|f ⁡(x ) | の - 1≦x≦ 4 における最大値を求めなさい.
2016-10741-0102
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【2】 1 から 6 までの目が同じ割合で出る 4 個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めなさい.
(1) 出る目がすべて異なる確率
(2) 出る目の最小値が 2 , かつ最大値が 3 である確率
(3) 出る目の最大値と最小値の積が 20 以上である確率
2016-10741-0103
文系,理系α
国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術,情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工,農,共同獣医学部
【3】 ▵ABC において,辺 BC , CA ,AB の長さをそれぞれ a , b ,c で表すとき,次の問いに答えなさい.
(1) ▵ABC の外接円の半径を R とするとき, ▵ABC の面積を a , b ,c , R を用いて表しなさい.
(2) ▵ABC の外接円の半径を r とするとき, ▵ABC の面積を a , b ,c , r を用いて表しなさい.
(3) ▵ABC の外接円と内接円の面積をそれぞれ S1 ,S2 とするとき, S 1S2 を a , b ,c を用いて表しなさい.
2016-10741-0104
【4】 空間内に 4 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 1,0, 0) ,B ( 0,1, 0) ,C ( 0,0, 1) がある. α は 0 <α<1 を満たす定数とし,点 P ,Q , R をそれぞれ次のように定める.
・ P は PA2+ PB2+ PC2 の値を最小にする点
・ Q は PB を α :1-α に内分する点
・ R は OC を α :1-α に内分する点
このとき,次の問いに答えなさい.
(1) P の座標を求めなさい.
(2) Q , R の座標を α を用いてそれぞれ表しなさい.
(3) ▵CPR と ▵ BCQ の面積をそれぞれ S1 ,S2 とするとき, S1 S2 を求めなさい.
2016-10741-0105
理系α
教育(情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工学部
【1】 関数 f ⁡(x )= |x3 -3⁢ x2- 3⁢x+ 1| について,次の問いに答えなさい.
(1) 方程式 f ⁡( x)= 0 の実数解をすべて求めなさい.
(2) f⁡( x) の増減,極値を調べ, y=f⁡ (x ) のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.
(3) a を実数の定数とする. x についての方程式 f⁡ (x) =a が,ちょうど 4 個の異なる実数解をもつように, a の値の範囲を定めなさい.
2016-10741-0106
【2】 n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) a>0 , n≧3 のとき,次の不等式が成り立つことを証明しなさい.
( 1+a) n> 16 ⁢n⁢ (n- 1)⁢ (n- 2)⁢ a2
(2) r>1 のとき,極限値
limn →∞ n2r n
を求めなさい.
2016-10741-0107
教育(情報教育,数学),理,工,医(医学科)学部
理(数理科学科),医(医学科)学部は【1】
【4】 n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) α ,β を実数とし,
f⁡( x)= α x-α - β x-β
とする. f⁡( x) の第 n 次導関数 f (n ) ⁡(x ) について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
f( n) ⁡(x )= (-1 )n ⁢n!⁢ { α( x-α) n+1 - β (x -β) n+1 }
(2) b ,c を b2> 4⁢c を満たす実数とし,
h⁡( x)= x x2- b⁢x+ c
とする.また, h⁡( x) の第 n 次導関数 h( n) ⁡( x) に対し, an= cn⁢ h( n) ⁡(0 )n ! とおく.
(ⅰ) 2 次方程式 x2-b ⁢x+c =0 の解を α , β とする. an を α , β ,n を用いて表しなさい.
(ⅱ) an+ 2-b ⁢an +1+ c⁢an =0 が成り立つことを示しなさい.
2016-10741-0108
理(数理科学科),医(医学科)学部
【2】 a> 12 ,b> 1 とし,放物線 y =a⁢x 2-b を C1 , 原点を中心とする半径 1 の円を C 2 とする. C1 と C 2 の共有点が右図のように 2 個であるとき,次の問いに答えなさい.
(1) a と b の関係を式で表しなさい.
(2) C1 と x 軸で囲まれ,かつ C 2 の内部に含まれない部分の面積を S とする. S を a を用いて表しなさい.
(3) a が a > 12 の範囲を動くとき,(2)の S の最小値を求めなさい.
2016-10741-0109
【3】 座標平面上の 3 点 O ( 0,0 ), A ( x1, y1) ,B ( x2, y2 ) を頂点とする ▵ OAB を考える.
α=x 1+y 1⁢i , β= x2+ y2⁢ i
とするとき,次の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位である.
(1) ▵OAB の面積 S は
S= 14⁢ | α⁢β ‾- α‾⁢ β|
で表されることを示しなさい.ただし, α‾ , β‾ はそれぞれ α , β と共役な複素数である.
(2) k を 2 より大きい定数とする. α ,β が
α2 +β2 =1 かつ | α-1 |+ |α +1| =k
を満たすとき,次の各値は α , β によらず一定であることを示しなさい.
(ⅰ) | α| 2+ |β |2
(ⅱ) ▵OAB の面積 S
2016-10741-0110
【4】 点 O ( 0,0, 0) と点 A ( 1,0, 0) に対して,点 B ( b1, b2, 0) と点 C ( c1, c2, c3 ) は
∠AOB= ∠BOC=∠ COA= 3⁢π 5 , | OB→ | =| OC→ | =1
を満たしているとする. b2 >0 , c 3>0 , また, p=2⁢ cos⁡ π5 とするとき,以下の問いに答えなさい.ただし,次の等式 ① を証明無しに用いてもよい.
4⁢cos ⁡ 2 ⁢π5 ⁢ cos⁡ π5= 1 ⋯ ①
(1) 等式 p2=p +1 が成り立つことを示しなさい.
(2) b1 = 1-p2 であることを示しなさい.
(3) 点 E ( 0,0, 1) に対して, OC→ を実数 k , l ,m を用いて
OC→ =k⁢ OA→ +l⁢OB →+m ⁢OE→
と表すとき, m2 = 2+p 5 であることを示しなさい.
(4) 四面体 OABC の体積を V とする. V= p12 であることを示しなさい.