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2016 山口大学 前期

文系

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=x 3-3 x2- 3x+ 1 について,次の問いに答えなさい.

(1) 方程式 f (x )=0 の実数解をすべて求めなさい.

(2)  f( x) の増減,極値を調べ, y=f (x ) のグラフをかきなさい.

(3) 関数 y =|f (x ) | - 1x 4 における最大値を求めなさい.

2016 山口大学 前期

文系

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  1 から 6 までの目が同じ割合で出る 4 個のさいころを同時に投げるとき,次の確率を求めなさい.

(1) 出る目がすべて異なる確率

(2) 出る目の最小値が 2 かつ最大値が 3 である確率

(3) 出る目の最大値と最小値の積が 20 以上である確率

2016 山口大学 前期

文系,理系α

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術,情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工,農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において,辺 BC CA AB の長さをそれぞれ a b c で表すとき,次の問いに答えなさい.

(1)  ABC の外接円の半径を R とするとき, ABC の面積を a b c R を用いて表しなさい.

(2)  ABC の外接円の半径を r とするとき, ABC の面積を a b c r を用いて表しなさい.

(3)  ABC の外接円と内接円の面積をそれぞれ S1 S2 とするとき, S 1S2 a b c を用いて表しなさい.

2016 山口大学 前期

文系

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 空間内に 4 O ( 0,0, 0) A ( 1,0, 0) B ( 0,1, 0) C ( 0,0, 1) がある. α 0 <α<1 を満たす定数とし,点 P Q R をそれぞれ次のように定める.

P PA2+ PB2+ PC2 の値を最小にする点

Q PB α :1-α に内分する点

R OC α :1-α に内分する点

このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  P の座標を求めなさい.

(2)  Q R の座標を α を用いてそれぞれ表しなさい.

(3)  CPR BCQ の面積をそれぞれ S1 S2 とするとき, S1 S2 を求めなさい.

2016 山口大学 前期

理系α

教育(情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= |x3 -3 x2- 3x+ 1| について,次の問いに答えなさい.

(1) 方程式 f ( x)= 0 の実数解をすべて求めなさい.

(2)  f( x) の増減,極値を調べ, y=f (x ) のグラフをかきなさい.ただし,グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい.

(3)  a を実数の定数とする. x についての方程式 f (x) =a が,ちょうど 4 個の異なる実数解をもつように, a の値の範囲を定めなさい.

2016 山口大学 前期

理系α

教育(情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  a>0 n3 のとき,次の不等式が成り立つことを証明しなさい.

( 1+a) n> 16 n (n- 1) (n- 2) a2

(2)  r>1 のとき,極限値

limn n2r n

を求めなさい.

2016 山口大学 前期

理系α

教育(情報教育,数学),理,工,医(医学科)学部

理(数理科学科),医(医学科)学部は【1】

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  α β を実数とし,

f( x)= α x-α - β x-β

とする. f( x) の第 n 次導関数 f (n ) (x ) について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.

f( n) (x )= (-1 )n n! { α( x-α) n+1 - β (x -β) n+1 }

(2)  b c b2> 4c を満たす実数とし,

h( x)= x x2- bx+ c

とする.また, h( x) の第 n 次導関数 h( n) ( x) に対し, an= cn h( n) (0 )n ! とおく.

(ⅰ)  2 次方程式 x2-b x+c =0 の解を α β とする. an α β n を用いて表しなさい.

(ⅱ)  an+ 2-b an +1+ can =0 が成り立つことを示しなさい.

2016 山口大学 前期

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

2016年山口大前期理,医学部【2】2016107410108の図

【2】  a> 12 b> 1 とし,放物線 y =ax 2-b C1 原点を中心とする半径 1 の円を C 2 とする. C1 C 2 の共有点が右図のように 2 個であるとき,次の問いに答えなさい.

(1)  a b の関係を式で表しなさい.

(2)  C1 x 軸で囲まれ,かつ C 2 の内部に含まれない部分の面積を S とする. S a を用いて表しなさい.

(3)  a a > 12 の範囲を動くとき,(2)の S の最小値を求めなさい.



2016 山口大学 前期

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の 3 O ( 0,0 ) A ( x1, y1) B ( x2, y2 ) を頂点とする OAB を考える.

α=x 1+y 1i β= x2+ y2 i

とするとき,次の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位である.

(1)  OAB の面積 S

S= 14 | αβ - α β|

で表されることを示しなさい.ただし, α β はそれぞれ α β と共役な複素数である.

(2)  k 2 より大きい定数とする. α β

α2 +β2 =1 かつ | α-1 |+ |α +1| =k

を満たすとき,次の各値は α β によらず一定であることを示しなさい.

(ⅰ)  | α| 2+ |β |2

(ⅱ)  OAB の面積 S

2016 山口大学 前期

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 点 O ( 0,0, 0) と点 A ( 1,0, 0) に対して,点 B ( b1, b2, 0) と点 C ( c1, c2, c3 )

AOB= BOC= COA= 3π 5 | OB | =| OC | =1

を満たしているとする. b2 >0 c 3>0 また, p=2 cos π5 とするとき,以下の問いに答えなさい.ただし,次の等式 を証明無しに用いてもよい.

4cos 2 π5 cos π5= 1

(1) 等式 p2=p +1 が成り立つことを示しなさい.

(2)  b1 = 1-p2 であることを示しなさい.

(3) 点 E ( 0,0, 1) に対して, OC を実数 k l m を用いて

OC =k OA +lOB +m OE

と表すとき, m2 = 2+p 5 であることを示しなさい.

(4) 四面体 OABC の体積を V とする. V= p12 であることを示しなさい.

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