2016　徳島大学　前期MathJax

【１】　曲線$y=x^3\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^3)$における法線を$l$とし，$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　法線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

【２】　$0$でない複素数$\alpha \text{，}\beta$が${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(-\beta )$として，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　$▵\mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(a,b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1\text{，}0<q<1\text{，}0<r<1$とする．$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の重心と$▵\mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．

(2)　$3$点$(0,0)\text{，}(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)$を頂点とする三角形の面積は，${\displaystyle \frac{1}{2}}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$で表されることを示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{OAB}$の重心と$▵\mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最小値を求めよ．

【４】　媒介変数$\theta$を用いて$x=\sqrt{2}\cos \theta \text{，}y=\sqrt{3}\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$で表される領域を$C$とする．

(1)　$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．また，$C$と$y$軸との交点の座標を求めよ．

(2)　$C$上の点$(x,y)$に対して，$x-y$のとる値の最大値および最小値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　$C$上の点$(x,y)$に対して，$(x+y)(x-y)$のとる値の最大値と最小値と，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【１】　座標平面上の曲線${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}y\geqq 0\text{）}$を$C$とする．実数$t>1$に対して，点$(0,t)$を通り第$1$象限の点$(a,b)$で曲線$C$に接する直線を$l$とする．

(1)　$x$軸，$y$軸と$l$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数${S_2}^{\prime }(t)$の最大値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}\mathrm{R}\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}p:(1-p)$に外分する点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$外分する点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$外分する点を${\mathrm{R}}^{\prime }$とする．ただし，$0<p<1\text{，}0<q<1\text{，}0<r<1$かつ$p\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}q\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}r\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の重心と$▵\mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }}$が平行でないとする．$▵\mathrm{OAB}$の重心と$▵{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の重心が一致するとき，$▵\mathrm{OAB}$の重心と$▵\mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．

(3)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．

【３】　整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば，$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき，$P(x)$を整数値整式という．また，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定数とし，$f_1=x\text{，}{f}_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x(x-1)\text{，}{f}_3(x)={\displaystyle \frac{1}{6}}x(x-1)(x-2)$とする．

(1)　$P(x)=a{x}^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件(A)であることを示せ．

(A)　$P(x)$は整数$m_0\text{，}{m}_1\text{，}{m}_2$を用いて$m_0+m_1{f}_1(x)+m_2{f}_2(x)$という形に表せる．

(2)　$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件(B)であることを示せ．

(B)　$P(x)$は整数$m_0\text{，}{m}_1\text{，}{m}_2\text{，}{m}_3$を用いて$m_0+m_1{f}_1(x)+m_2{f}_2(x)+m_3{f}_3(x)$という形に表せる．

【４】　赤玉$1$個と白玉$3$個が入っている袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出し，空の袋$\mathrm{B}$に入れた状態を最初の入れ方とする．次の(ⅰ)，(ⅱ)を順に行うことを$1$回の作業とする．

(ⅰ)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．

(ⅱ)　袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．

最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．

(1)　$P_0\text{，}{P}_1$を求めよ．

(2)　$P_n$を求めよ．

(3)　最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．