2016　徳島大学　後期理工学部MathJax

2016　徳島大学　後期理工学部

易□　並□　難□

【１】　曲線 $y = \log x （ x > 0 ）$ を $C$ とする． $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ に対して，点 $(0, n)$ を通る $C$ の接線を $l_{n}$ とする．

(1)　接線 $l_{n}$ の方程式を求めよ．

(2)　曲線 $C ，$ 接線 $l_{n}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ を求めよ．

(3)　(2)で求めた $S_{n}$ に対し， $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n + 1}}{S_{n}}$ を求めよ．

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【２】　数列 ${a_{n}}$ は次を満たす．

$a_{1} = 1 ， 3 a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} - 3 a_{n} = 0 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

(1)　すべての自然数 $n$ について，不等式 $a_{n} > 0$ を示せ．

(2)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(3)　 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \dots + \frac{n}{a_{n}}$ を求めよ．

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【３】　 $0 ≦ x ≦ π$ として，次の問いに答えよ．

(1)　 $t = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ とするとき， $\cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x = t^{2} - 2$ を示せ．

(2)　 $a$ が実数のとき， $x$ についての方程式 $\sin x - \sqrt{3} \cos x = a$ の異なる解の個数を求めよ．

(3)　 $a$ が実数のとき， $x$ についての方程式 $\cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \sqrt{\sin 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x + 2} = a$ の異なる解の個数を求めよ．