2016　香川大学　前期MathJax

【１】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}{b}_1=2\text{，}$

$a_{n+1}=2a_n+b_n\text{，}2b_{n+1}=a_n+3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

1.　$c_n=a_n+b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．

2.　$c_n$を$n$を用いて表せ．

3.　$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【２】　座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,-t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$l$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　放物線$C_2$の方程式を求めよ．

2.　放物線$C_2$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．

3.　関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．

4.　放物線$C_1$と直線$l$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AD}=3\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC}\perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD}\perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．

1.　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

2.　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

3.　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$を求めよ．

4.　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を求めよ．

【４】　座標平面上の放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$に対し，次の問に答えよ．

1.　半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．

2.　点$(0,1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．

【５】　$a>0$とし，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,0)$から曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$に引いた接線を$l$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　接線$l$の方程式を求めよ．

2.　曲線$C$と接線$l\text{，}$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$3$つの関数$f(x)={\log }_3(18-x)\text{，}g(x)={\log }_3(4x^2)\text{，}h(x)={\log }_9(4x^4)$について，次の問に答えよ．

1.　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

2.　$0<x<2$のとき，$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$の大小を比較せよ．

3.　関数$y=f(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．

【４】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=e^x$に対し，次の問に答えよ．

1.　原点から曲線$C$に引いた接線$l$の方程式を求めよ．

2.　曲線$C$と接線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．

3.　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

4.　部分積分法を用いて，不定積分$I={\displaystyle \int }\log ydy\text{，}J={\displaystyle \int }{(\log y)}^{2}dy$を求めよ．

5.　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【１】　$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を次のように定める．

$a_1=3\text{，}{b}_1=2\text{，}{c}_1=1\text{，}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n+c_n}{4}}\text{，}$

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{c_n+a_n}{4}}\text{，}$

$c_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

1.　$a_n+b_n+c_n$を$n$を用いて表せ．

2.　$a_n-b_n\text{，}{a}_n-c_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

3.　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【２】　図のような，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OP}=x$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で，立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を切る．その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ．

2.　関数$y=S(x)$のグラフをかけ．

3.　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}}S(x)dx$を求めよ．

【３】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$を満たしているとする．また，平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を

$f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$

で定める．このとき，次の問に答えよ．

1.　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．

2.　$f(\mathrm{P})={\displaystyle \frac{8}{3}}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．

3.　点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．