2016　高知大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{4}6\text{，}{\log }_{8}9\text{，}{\log }_{9}8$を小さい順に並べよ．

(2)　関数$y={\log }_{\frac{1}{2}}(5-x)+{\log }_{\frac{1}{8}}{(x-1)}^3$の最小値を求めよ．

【２】　$0<k<1\text{，}$$0<l<1$とする．鋭角三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$k;(1-k)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$l:(1-l)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BP}\perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{AQ}\perp \mathrm{OB}$をみたすとき，$k\text{，}l$の値を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のそれぞれの長さ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$k\text{，}$$l$が(3)の条件をみたすとき，点$\mathrm{R}$は$\mathrm{OR}\perp \mathrm{AB}$をみたすかどうかを内積を計算することによって述べよ．

【３】　$100$から$200$までの整数のうち，次の数の和を求めよ．

(1)　$4$の倍数

(2)　$5$の倍数

(3)　$7$の倍数

(4)　$4$または$5$の倍数

(5)　$4$または$5$または$7$の倍数

【４】　座標平面上に放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{3}}}{x}^2$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$2$点$(-3,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}(3,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$で接している円の方程式を求めよ．

(2)　$C$と(1)の円で囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　$C$と点$(3,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$で接し，$y$軸にも接している円の方程式を求めよ．

(4)　$C$と$y$軸および(3)の円で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　実数の定数$a$に対し，二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=\left|x\right|-a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け．

(2)　$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)>0$または$g(x)>0$が，$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【２】　実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5\sin (kx)-6\cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$x$に対して，$f(x)\leqq 18$であることを示せ．

(2)　$k={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{4}}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．

(4)　$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．

【３】　ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{A}_k$

とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【４】　自然数$n$と多項式$f(x)$に対して，$a_n={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^{n-1}f(x)dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3\ne 0$を示せ．

(2)　$f(x)$が$2$次式で$a_1=1\text{，}{a}_2=0\text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$|a_{2n}|\leqq {\displaystyle \frac{(k+1)M}{2n+1}}$が成り立つことを示せ．

(4)　任意の多項式$f(x)$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$が成り立つことを示せ．