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2016-10821-0201
2016 高知大学 医学科AO入試
総合問題Ⅰ
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= x3-7 ⁢x+7 とする.このとき,次の設問に答えなさい.
設問1 y=f⁡ (x ) の増減表をかきなさい.
設問2 関数 y =f⁡( x) のグラフの概形をかきなさい.それを用いて f ⁡(x )=0 は 3 つの異なる実数解 a , b ,c で c <0 ,1< b<a<2 を満たすものをもつことを説明しなさい.
設問3 g⁡( x)= x2⁢f ⁡(1 +1 x) とする. g⁡( 1) ,g⁡ (2 ), g⁡( 3) を計算しなさい.それを用いて g ⁡(x )=0 の実数解のうちの 2 つの解 d , e は 1 <d<2 , 2<e <3 を満たすことを説明しなさい.
設問4 設問2における a , b は設問3における d , e を用いて,それぞれ a =1+ 1d ,b= 1+ 1e とかけることを示しなさい.さらに 43 <b< 32 , 3 2<a <2 を満たすことを示しなさい.
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【2】 3 辺の長さが a , b ,c である三角形の面積を S ⁡(a ,b,c ) とする.このとき,次の設問に答えなさい.
設問1 余弦定理を用いて, S⁡( a,b,c )=t ⁢(t -a)⁢ (t-b )⁢( t-c) であることを示しなさい.ここで t = a+b+ c2 とする.
設問2 a≦c のとき, x が a ≦x≦c を満たすならば, x ,b , a+c -x をそれぞれの辺の長さとする三角形ができることを示しなさい.すなわち, 2 辺の長さの和は他の 1 辺の長さより長い事を示しなさい.
設問3 設問2の x について, S⁡( a,b,c )≦S ⁡(x ,b,a+ c-x) が成り立つことを示しなさい.また,等号の成立は x =a または x =c のときに限ることを示しなさい.
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【3】 m> 12 とする.次の 3 直線について設問に答えなさい.
l1 :y= m⁢x- 2⁢m+ 3
l2: y=- 1m⁢ x+ 2m +3
l3: y=-2⁢ x+1
設問1 l1 と l 2 の交点の座標を求めなさい.
設問2 3 直線 l1 ,l 2 ,l3 で囲まれた三角形の面積を求めなさい.
設問3 3 直線 l1 ,l 2 ,l3 で囲まれた三角形が二等辺三角形となる m を求めなさい.