2016　福岡教育大学　後期MathJax

2016-10841-0201

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2016　福岡教育大学　後期

教育(中等教育数学専修)学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問1)　不等式 $3^{\log_{2} 2 x} + 2 \cdot 3^{\log_{4} x} - 1 > 0$ を解け．

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【１】　次の問いに答えよ．

(問2)　 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ のとき，関数 $y = \cos^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \sin^{2} x$ の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(問3)　等差数列 ${a_{n}}$ は

$a_{4} + a_{5} + a_{6} = 615 ， a_{18} + a_{20} + a_{22} = - 15$

を満たす．この等差数列の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項 $a_{n}$ までの和を $S_{n}$ とするとき $S_{n}$ の最大値を求めよ．

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【２】　 $▵ OAB$ において $OA = 2 ， OB = 3$ であり， $\vec{OA} = \vec{a} ， \vec{OB} = \vec{b}$ とおくと $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ である．頂点 $O$ から直線 $AB$ に下ろした垂線と直線 $AB$ の交点を $H ，$ 頂点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $I$ とする．また直線 $OH$ と直線 $AI$ の交点を $P$ とする．ただし $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積である．次の問いに答えよ．

(問1)　 $\vec{OH}$ を $\vec{a} ， \vec{b}$ を用いて表せ．

(問2)　 $\vec{OP}$ を $\vec{a} ， \vec{b}$ を用いて表せ．

(問3)　 $\vec{OI} = k \vec{b}$ を満たす実数 $k$ を求めよ．

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【３】　 $p ， m$ を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(問1)　 $p ≧ 3$ とする． $p$ と $p + m$ が素数ならば， $m$ は偶数であることを示せ．

(問2)　 $m$ は $3$ で割ると $1$ 余る．このとき $p (p + m) (p + 2 m)$ は $3$ の倍数であることを示せ．

(問3)　 $m$ は $1 ≦ m ≦ 20$ を満たし， $3$ で割ると $1$ 余る．このとき $p ， p + m ， p + 2 m$ がすべて素数であるような整数の組 $(p, m)$ をすべて求めよ．

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【４】　媒介変数表示 $t$ を用いて

$x = \frac{e^{t} - e^{- x}}{2} ， y = \frac{e^{t} + e^{- t}}{2}$

で表される曲線について，次の問いに答えよ．

(問1)　この曲線上の点 $(x, y)$ は $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ を満たすことを示せ．

(問2)　 $A (0, 1) ， O (0, 0) ， P (\frac{e^{t_{0}} - e^{- t_{0}}}{2}, \frac{e^{t_{0}} + e^{- t_{0}}}{2})$ とする．線分 $OA ，$ 線分 $OP$ とこの曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を $t_{0}$ で表せ．ただし $t_{0} > 0$ とする．