2016　九州大学　前期MathJax

【１】　座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,0)\text{，}$$(\alpha ,0)\text{，}$$(\beta ,0)$$\text{（}0<\alpha <\beta \text{）}$があり，曲線$C\text{：}y=x^3+a{x}^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a\text{，}b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．

(2)　$\beta$の値を固定して，$0<\alpha <\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．

【２】　$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1\text{，}t:1-t\text{，}1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}\text{，}\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$直線$\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{BF}\text{，}\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．

以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．

(2)　$\mathrm{AP}=k\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{CR}=l\mathrm{CD}$を満たす実数$k\text{，}l$をそれぞれ求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【３】　袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の相加で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．

(操作)　コインが点$(x,y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．

最初に原点$(0,0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．

(2)　操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．

(3)　座標平面上の$4$点$(1,1)\text{，}$$(-1,1)\text{，}$$(-1,-1)\text{，}$$(1,-1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．

(4)　自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_6$を求めよ．

(3)　以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．

(ⅰ)　$N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．

(ⅱ)　$N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．

(ⅲ)　$N$は$13$で割り切れる．

【１】　座標平面上の曲線$C_1\text{，}{C}_2$をそれぞれ

$C_1\text{：}y=\log x\text{（}x>0\text{）}$

$C_2\text{：}y=(x-1)(x-a)$

とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1\text{，}{C}_2$が$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1\text{，}n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n\text{，}$曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．

(2)　$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n\log T_n}}$を求めよ．

【３】　座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点${\mathrm{P}}_0(1,0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を${\mathrm{P}}_0$から反時計まわりに順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．

はじめにコインを$1$枚だけ${\mathrm{P}}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$回サイコロを投げた後に，コインが${\mathrm{P}}_0$の位置にある確率を求めよ．

(2)　$3$回サイコロを投げた後に，コインが${\mathrm{P}}_0$の位置にある確率を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが${\mathrm{P}}_0$の位置にある確率を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta +i\sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ．

$\cos n\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}(z^n+{\displaystyle \frac{1}{z^n}})\text{，}\sin n\theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(z^n-{\displaystyle \frac{1}{z^n}})$

(2)　次の方程式を満たす実数$x\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$を求めよ．

$\cos x+\cos 2x-\cos 3x=1$

(3)　次の式を証明せよ．

${\sin }^{2}20\mathrm{°}+{\sin }^{2}40\mathrm{°}+{\sin }^{2}60\mathrm{°}+{\sin }^{2}80\mathrm{°}={\displaystyle \frac{9}{4}}$