2016　九州大学　後期MathJax

【１】　等式${(i-\sqrt{3})}^m={(1+i)}^n$を満たす自然数$m\text{，}n$のうち，$m$が最小となるときの$m\text{，}n$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　袋の中に，白色の球が$n$個，青色の球が$n$個，赤色の球が$n$個入っている．それぞれの色の球には$1$から$n$までの番号が重複なく書かれている．ただし$n=1$のときは，それぞれ番号$1$が書かれた白球，青球，赤球が$1$個ずつ入っているとする．箱から球を$1$個取り出して箱に戻すことを$3$回行う．以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 3$とする．取り出された球のうち少なくとも$1$個の番号が$3$であるとき，取り出された$3$個の球の番号の合計値が$9$である条件付き確率を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$とする．取り出された球のうち少なくとも$1$個は$1$が書かれた赤玉であるとき，取り出された$3$個の球がすべて赤玉である条件つき確率$p(n)$を$n$の式で表せ．

(3)　$n\geqq 1$とする．(2)で求めた$p(n)$の最小値を求めよ．

(4)　$n\geqq 1$とする．(2)で求めた$p(n)$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }p(n)$を求めよ．

【３】　座標空間内に点$\mathrm{A}(-2,3,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(2,-1,0)\text{，}$点$\mathrm{C}(2,3,4)$がある．また，ベクトル$\overrightarrow{m}=(-1,1,3)$に平行で点$\mathrm{D}(1,2,0)$を通る直線$l\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{n}=(b,1,c)$に垂直で点$\mathrm{E}(0,a,0)$を通る平面$\pi$がある．平面$\pi$は直線$l$を含んでいる．以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$a$と$b$をそれぞれ$c$の式で表せ．

(3)　平面$\pi$が線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BC}$の両方と共有点をもち，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$2$等分するときの$c$の値を求めよ．

【４】　正の実数$a\text{，}b$に対して$A(a,b)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\text{，}G(a,b)=\sqrt{ab}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\min (a,b)\leqq G(a,b)\leqq A(a,b)\leqq \max (a,b)$が成り立つことを示せ．ただし，$\min (a,b)$は$a\text{，}b$のうちの最小の数を表し，$\max (a,b)$は$a\text{，}b$のうちの最大の数を表す（$a=b$の場合は$a\text{，}b$のうちのどちらかの数を表すとする）．

(2)　$a>b\text{，}{a}_0=a\text{，}{b}_0=b$として，以下の数列を定義する．

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\text{，}{b}_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}\text{，}{c}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n-b_n}{2}}\text{，}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$

このとき数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$は同じ極限値（$\alpha$とする）に収束することを示せ．

(3)　$a_{n+2}$を$a_n$と$b_n$を用いて表せ．ただし，$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は(2)で定義した数列とする．

(4)　$c_{n+2}$と$c_{n+1}$の間に以下の関係が成り立つことを示せ．ただし，$\{c_n\}$と$\alpha$はそれぞれ(2)で定義した数列と極限値とする．

$c_{n+2}<{({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\alpha }}}{c}_{n+1})}^2$

【５】　媒介変数$x=\sin t\text{，}y=t^2$（ただし$-2\pi \leqq t\leqq 2\pi$）で表された曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．なお領域が複数ある場合は，その総和を求めよ．