2016　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．

(ⅳ)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}\text{，}{b}_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}{b}_n}$

をみたすとする．次に答えよ．

(ⅰ)　$a_3\text{，}{b}_3\text{，}{a}_4\text{，}{b}_4$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(ⅱ)　自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅳ)　$\underset{n\to \infty }{\mathrm{llim}}{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(ⅴ)　$t=s$は$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$であるための必要十分条件であることを示せ．

(ⅰ)　$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　$x_2-x_1$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅴ)　$b$が(ⅰ)で求めた範囲を動くとき，(ⅳ)で求めた$S$の最大値を求めよ．

(ⅰ)　$\sqrt{3}\cos \theta >1$を示せ．

(ⅱ)　直線$l$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　直線$l$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(ⅴ)　$\theta$が(ⅳ)で求めた値をとるとき，$2$直線$l\text{，}m$および曲線$x^2+y^2=3\text{（}x\geqq \sqrt{3}\cos \theta \text{）}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{E}(a,0)\text{，}\mathrm{F}(b,0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた$▵\mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．

(ⅴ)　点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,0)\text{，}(0,1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

図１	図２

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$l$とする．直線$l$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．

(ⅴ)　点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．

(ⅵ)　曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図２の斜線部分の面積を求めよ．

$z_0=0\text{，}{z}_1=1\text{，}{z}_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+\mathrm{+1}}-z_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$とする．また，複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を${\mathrm{P}}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z_2\text{，}{z}_{3.}\text{，}{z}_4$を求めよ．

(ⅱ)　点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$を図示せよ．また，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の長さ，および$\angle {\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0\text{，}\angle {\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1\text{，}\angle {\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_2$の値も図中に示せ．

(ⅲ)　$z_{n+1}-z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$\alpha$と$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$z_n$の実部，虚部をそれぞれ$x_n\text{，}{y}_n$とする．このとき，$x_n\text{，}{y}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた$x_n\text{，}{y}_n$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$をそれぞれ求めよ．

試行：$4$枚の硬貨のうち，裏が上の硬貨はそのままにし，表が上の硬貨はすべて拾って同時に投げる．

ただし，すべての硬貨が，裏が上の場合も、$0$枚の硬貨を拾って投げるとみなして，試行を繰り返すものとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　硬貨$\mathrm{A}$が$3$回目の試行の後に表が上である確率を求めよ．

(ⅱ)　$3$回目の試行の後，硬貨$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は表が上で，かつ，硬貨$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は裏が上である確率を求めよ．

(ⅲ)　$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．

(ⅳ)　$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚であった．このとき，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．

(ⅴ)　$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚で，かつ，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．

(ⅵ)　$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚であった．このとき，$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚である確率を求めよ．