2016　佐賀大学　前期MathJax

【１】　$0<p<1$とする．

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+p{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{P}(t,0)$をとる．ただし，$0<t<4$とする．さらに放物線$C\text{：}y=-x^2+7x$上に$2$点$\mathrm{B}(4,12)\text{，}\mathrm{Q}(t,-t^2+7t)$をとる．$▵\mathrm{APB}$の面積を$f(t)$とし，放物線$C\text{，}$線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$g(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<4$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　$1$から$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．これらから$4$枚を選び，横$1$列に並べる．並べられたカードに書かれた数字を左から順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　カードの並べ方の総数を求めよ．

(2)　次のルールのもとで，$3$と$4$のカードを捨てる場合は何通りあるかを求めよ．

・$a<b<c<d$ならば，$b$と$c$のカードを捨てる．

・$a<b<d<c$ならば，$b$と$d$のカードを捨てる．

・$b<a<c<d$ならば，$a$と$c$のカードを捨てる．

・$b<a<d<c$ならば，$a$と$d$のカードを捨てる．

・その他は何も捨てない．

(3)　(2)のルールのもとで，何も捨てない確率を求めよ．

【１】　$0<p<1$とする．

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+p{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$を利用して，不定積分${\displaystyle \int }{\tan }^{2}xdx$を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}y=\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta +i\sin \theta )$とするとき，次の複素数を極形式で表せ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とし，また$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表す．

(1)　$-\bar{z}$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{z^2}}$

(3)　$z-\left|z\right|$

【２】　$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}y=\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b$は$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}{a}^2+b^2=1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　定積分

$S={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|a\sin x-b\cos x|dx$

を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$S$の最大値，最小値とそのときの$a\text{，}b$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　複素数平面上の点$z$に対して

$w={\displaystyle \frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)}}$

で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．

(2)　(1)で求めた異なる$2$点を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$0\leqq \arg \alpha <\arg \beta <2\pi$とする．$z$が$\alpha \text{，}\beta$と異なる点であるとき，

${\displaystyle \frac{w-\beta }{w-\alpha }}=k\cdot {\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}$

となるような定数$k$の値を求めよ．

(3)　複素数$z_n$を

$z_1=0\text{，}{z}_{n+1}={\displaystyle \frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n\text{，}{y}_n$とする．このとき，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$の極限を求めよ．

【２】　空間に$3$点$\mathrm{A}(1,2,6)\text{，}$$\mathrm{B}(7,0,9)\text{，}$$\mathrm{C}(s,t,0)$がある．ただし，$s\text{，}$$t$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}=90\mathrm{°}$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．