2016　佐賀大学　後期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$1$でない正の数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，

${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c\cdot {\log }_{c}d\cdot {\log }_{d}a$

を求めよ．

(2)　$1$より大きい数$x\text{，}y$に対して，

${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}x+{\log }_{3}x\cdot {\log }_{x}y+{\log }_{x}y\cdot {\log }_{y}2+{\log }_{y}2\cdot {\log }_{2}3$

の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2+a\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2+8x$について次の問に答えよ．

(1)　$C_1\text{，}{C}_2$が異なる$2$点で交わるときの$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)の交点の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$とするとき，$x_1\leqq m\leqq x_2$を満たす整数$m$をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$m$に対し$m^2+a\leqq n\leqq -m^2+8m$を満たす整数$n$を考える．このとき，$m\text{，}n$の組がちょうど$8$個存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{x-1}^x}t{e}^{-t}dt$に対して次の問に答えよ．

(1)　$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた$x$の範囲において$g(x)=\log f(x)$とする．$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　(2)の$g(x)$に対して，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(g(x+1)-g(x))$を求めよ．

【４】　$x^5=1$かつ$z\ne 1$を満たす複素数$z$のうち偏角が最小になるものを$\alpha$とおく．ただし，偏角は$0$以上$2\pi$未満とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$を極形式で表せ．

(2)　$\alpha$は${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0$を満たすことを示せ．さらに${\alpha }^4=\bar{\alpha }\text{，}{\alpha }^3={\bar{\alpha }}^2$となることを示せ．ただし，$\alpha$と共役な複素数を$\bar{\alpha }$で表す．

(3)　$\cos (\arg \alpha )$の値を求めよ．ただし，$\arg \alpha$は$\alpha$の偏角を表す．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$1$でない正の数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，

${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c\cdot {\log }_{c}d\cdot {\log }_{d}a$

を求めよ．

(2)　$1$より大きい数$x\text{，}y$に対して，

${\log }_{2}x+{\log }_{3}y+{\log }_{x}2+{\log }_{y}3$

の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行う．$\mathrm{A}$が試合に勝つ確率を$p$とするとき，次の問に答えよ．ただし，$0<p<1$とし，引き分けはないものとする．

(1)　$3$試合行って多く勝った方を優勝としたとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率$q$を求めよ．

(2)　先に$3$勝した方を優勝としたとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率$r$を求めよ．

(3)　$p>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$p\text{，}q\text{，}r$の大小を不等号を用いて表せ．

【４】　曲線$y=x^3-x$と直線$y=nx$で囲まれた図形の面積を$a_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_n$を求めよ．