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2016 長崎大学 前期

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【1】 以下の問いに答えよ.

(1) 放物線 y =x2 -x の頂点を P とする.点 Q はこの放物線上の点であり,原点 O ( 0,0 ) とも点 P とも異なるとする. OPQ が直角であるとき,点 Q の座標を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(2) 関数 f (x ) は以下の条件(イ),(ロ),(ハ)を満たす.そのような正の数 a の値と f ( x) を求めよ.

(イ)  f (x) =x2 +ax

(ロ)  f( 0)= -1

(ハ)  f( x) の極大値と極小値の差が 481

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【1】 以下の問いに答えよ.

(3) 方程式

2 (log 2x )2 -7 |log 2x |- 4=0

を解け.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(4)  0x 2π のとき,不等式

sin3 x+sin 2x <sinx

を解け.

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【2】 空間において, 3 A ( 5,0, 1) B ( 4,2, 0) C ( 0,1, 5) を頂点とする三角形 ABC がある.以下の問いに答えよ.

(1) 線分 AB BC CA の長さを求めよ.

(2) 三角形 ABC の面積 S を求めよ.

(3) 原点 O ( 0,0, 0) から平面 ABC に垂線を下ろし,平面 ABC との交点を H とする. AH =l AB +m AC とおくとき,実数 l m の値を求めよ.

(4) 直線 AH と直線 BC の交点を M とする. AH =k AM とおくとき,実数 k の値と三角形 HBC の面積 T を求めよ.

(5) 原点 O を頂点,四角形 ABHC を底面とする四角 すい O ABHC の体積 V を求めよ.

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【3】 半径 1 の円に内接する正十二角形 D がある.その面積を S とする. D の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D 1 をつくる.さらに, D1 の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D 2 をつくる.このように, Dn- 1 の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D n をつくる( n 2 ). Dn の面積を S n とする.以下の問いに答えよ.

(1)  S S 1 を求めよ.

(2)  Sn n の式で表せ( n 1 ).

(3)  Sn 12 S となる最小の整数 n を求めよ.だたし,

1.89< log2 (2+ 3) <1.9

である.

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2016年長崎大前期【4】2016108810107の図

図1

2016年長崎大前期【4】2016108810107の図

図2

【4】  1 辺の長さが 2 の立方体 ABCD EFGH がある.右の図1のように, 2 BC CD 上に BS =CT=x 0x 2 を満たす点 S T をとる.このとき,三角形 EST の面積の最大値と最小値を求めたい.以下の問いに答えよ.

(1) 右下の図2を参考にして,三角形 OPQ において OP =p OQ = q とおくとき,三角形 OPQ の面積は

1 2 | p |2 | q |2 -( p q )2

と表されることを証明せよ.

(2)  EF =a EH = b EA =c とおく.立方体の 1 辺の長さが 2 であることに注意して, ES ET a b c および x を用いて表せ.また, | ES | 2 |ET | 2 を,それぞれ x の式として表せ.さらに, ES ET の内積 ES ET は, x によらない一定の値になることを示せ.

(3) 上の(1)を利用して三角形 EST の面積 f (x ) を求めよ.

(4)  0x 2 の範囲で, f( x) の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの x の値も答えよ.



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【5】 以下の問いに答えよ.

(1) 関数

y= ex- e-x e x+e -x

の増減を調べ, y のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.

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【5】 以下の問いに答えよ.

(2) 定積分

In= 0π4 tan nx dx

について, I1 I2 I3 を求めよ.

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【5】 以下の問いに答えよ.

(3) 関数

f( x)= 1 +logx x x> 0

がある.曲線 C y=f (x ) の変曲点を P ( a,f (a )) とする.曲線 C と直線 x =a および x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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【6】 区間 - 1x 1 において, 2 つの関数 f (x )=x +1- x2 g( x)= x-1- x2 を考える.曲線 C1 y=f (x ) と曲線 C2 y=g (x ) で囲まれた図形を D とする.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x ) の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.

(2) 曲線 C 1 は曲線 C 2 と原点に関して対称であることを示せ.

(3) 区間 - 1x 1 において, f( x) - g( x) の値の大小関係を調べよ.また, g( x) 0 が成り立つような x の範囲を求めよ.

(4) 図形 D x 0 の部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

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【7】 関数 f (x )=x ex で定まる曲線 C y=f ( x) を考える. p を正の数とする.以下の問いに答えよ.

(1)  f (x ) f ( x) を求めよ.また,すべての x について

{( ax+ b) ex } =f( x)

が成り立つような定数 a b の値を求めよ.

(2) 曲線 C 上の点 P ( p,f (p )) における C の接線を l y=c (x -p) +d とする. c d の値を p を用いて表せ.さらに,区間 x 0 において関数 g (x )=f (x )- {c (x- p)+ d} の増減を調べ,不等式

f( x) c( x-p) +d x0

が成り立つことを示せ.

(3)  x0 の範囲で,曲線 C と接線 l および y 軸で囲まれた図形を F とする.その面積 S (p ) を求めよ.

(4)  2 辺が x 軸, y 軸に平行な長方形 R を考える. R が図形 F を囲んでいるとき, R の面積の最小値 T ( p) を求めよ.さらに, limp S( p) T( p) を求めよ.

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【8】  楕円だえん x2+ y 2a2 =1 a>0 y 軸の交点を A ( 0,a ) B (0 ,-a ) とする. θ - π2 θ π2 の範囲を動くとき,点 P ( cosθ, sinθ ) はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.

(1) 線分 AP の長さを l とする. X=sin θ (- π 2 θ π2 ) のとき, Y=l 2 となる関数を Y =f( X) とする. f( X) X の式で表せ.

(2)  0<a <1 の場合.

 (1)の関数 f ( X) の最大値を a を用いて表し,そのときの X の値を求めよ.

(3)  a=2 の場合.

 (1)の関数 f (x ) の値が最大となるときの点 P P1 とする. f( X) の最大値と P1 の座標を求めよ.また,点 A ( 0,2 ) を中心とし点 P1 を通る円を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

教育(小学,幼稚園(こども保育),特別支援,中学(社会,技術)教育コース),経済,環境科学,水産学部 【1】【2】

教育(中学(数学)教育コース),薬学部 【3】【4】【5】【7】

医学部 【3】【4】【7】【8】

歯,工学部 【3】【4】【5】【6】

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