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2016-10881-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁)へ
2016 長崎大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) 放物線 y =x2 -x の頂点を P とする.点 Q はこの放物線上の点であり,原点 O ( 0,0 ) とも点 P とも異なるとする. ∠OPQ が直角であるとき,点 Q の座標を求めよ.
2016-10881-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁7行)へ
(2) 関数 f ⁡(x ) は以下の条件(イ),(ロ),(ハ)を満たす.そのような正の数 a の値と f ⁡( x) を求めよ.
(イ) f′⁡ (x) =x2 +a⁢x
(ロ) f⁡( 0)= -1
(ハ) f⁡( x) の極大値と極小値の差が 481
2016-10881-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁13行)へ
(3) 方程式
2⁢ (log 2⁡x )2 -7⁢ |log 2⁡x |- 4=0
を解け.
2016-10881-0104
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁17行)へ
(4) 0≦x ≦2⁢π のとき,不等式
sin⁡3 ⁢x+sin ⁡2⁢x <sin⁡x
2016-10881-0105
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
【2】 空間において, 3 点 A ( 5,0, 1) ,B ( 4,2, 0) ,C ( 0,1, 5) を頂点とする三角形 ABC がある.以下の問いに答えよ.
(1) 線分 AB , BC ,CA の長さを求めよ.
(2) 三角形 ABC の面積 S を求めよ.
(3) 原点 O ( 0,0, 0) から平面 ABC に垂線を下ろし,平面 ABC との交点を H とする. AH→ =l⁢ AB→ +m⁢ AC→ とおくとき,実数 l , m の値を求めよ.
(4) 直線 AH と直線 BC の交点を M とする. AH→ =k⁢ AM→ とおくとき,実数 k の値と三角形 HBC の面積 T を求めよ.
(5) 原点 O を頂点,四角形 ABHC を底面とする四角 錐すい O‐ ABHC の体積 V を求めよ.
2016-10881-0106
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁)へ
【3】 半径 1 の円に内接する正十二角形 D がある.その面積を S とする. D の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D 1 をつくる.さらに, D1 の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D 2 をつくる.このように, Dn- 1 の各辺の中点を順に結んで正十二角形 D n をつくる( n ≧2 ). Dn の面積を S n とする.以下の問いに答えよ.
(1) S と S 1 を求めよ.
(2) Sn を n の式で表せ( n ≧1 ).
(3) Sn ≦ 12 ⁢ S となる最小の整数 n を求めよ.だたし,
1.89< log2⁡ (2+ 3) <1.9
である.
2016-10881-0107
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF8頁)へ
図1
図2
【4】 1 辺の長さが 2 の立方体 ABCD ‐EFGH がある.右の図1のように, 2 辺 BC , CD 上に BS =CT=x ( 0≦x≦ 2 ) を満たす点 S , T をとる.このとき,三角形 EST の面積の最大値と最小値を求めたい.以下の問いに答えよ.
(1) 右下の図2を参考にして,三角形 OPQ において OP→ =p→ , OQ →= q→ とおくとき,三角形 OPQ の面積は
1 2⁢ | p→ |2 ⁢| q→ |2 -( p→ ⋅q→ )2
と表されることを証明せよ.
(2) EF→ =a→ , EH →= b→ , EA→ =c→ とおく.立方体の 1 辺の長さが 2 であることに注意して, ES→ , ET→ を a→ , b→ , c→ および x を用いて表せ.また, | ES→ | 2 , |ET →| 2 を,それぞれ x の式として表せ.さらに, ES→ と ET → の内積 ES→⋅ ET→ は, x によらない一定の値になることを示せ.
(3) 上の(1)を利用して三角形 EST の面積 f ⁡(x ) を求めよ.
(4) 0≦x ≦2 の範囲で, f⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの x の値も答えよ.
2016-10881-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁)へ
【5】 以下の問いに答えよ.
(1) 関数
y= ex- e-x e x+e -x
の増減を調べ, y のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
2016-10881-0109
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁7行)へ
(2) 定積分
In= ∫ 0π4 tan n⁡x ⁢dx
について, I1 , I2 , I3 を求めよ.
2016-10881-0110
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF9頁11行)へ
(3) 関数
f⁡( x)= 1 +log⁡x x ( x> 0 )
がある.曲線 C :y=f ⁡(x ) の変曲点を P ( a,f⁡ (a )) とする.曲線 C と直線 x =a , および x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2016-10881-0111
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF10頁5行)へ
【6】 区間 - 1≦x≦ 1 において, 2 つの関数 f ⁡(x )=x +1- x2 , g⁡( x)= x-1- x2 を考える.曲線 C1: y=f⁡ (x ) と曲線 C2: y=g⁡ (x ) で囲まれた図形を D とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.
(2) 曲線 C 1 は曲線 C 2 と原点に関して対称であることを示せ.
(3) 区間 - 1≦x≦ 1 において, f⁡( x) と - g⁡( x) の値の大小関係を調べよ.また, g⁡( x)≧ 0 が成り立つような x の範囲を求めよ.
(4) 図形 D の x ≧0 の部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.
2016-10881-0112
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF12頁)へ
【7】 関数 f ⁡(x )=x ⁢ex で定まる曲線 C :y=f ⁡( x) を考える. p を正の数とする.以下の問いに答えよ.
(1) f′⁡ (x ) と f ″⁡( x) を求めよ.また,すべての x について
{( a⁢x+ b)⁢ ex }′ =f⁡( x)
が成り立つような定数 a , b の値を求めよ.
(2) 曲線 C 上の点 P ( p,f⁡ (p )) における C の接線を l :y=c ⁢(x -p) +d とする. c と d の値を p を用いて表せ.さらに,区間 x ≧0 において関数 g ⁡(x )=f ⁡(x )- {c⁢ (x- p)+ d} の増減を調べ,不等式
f⁡( x)≧ c⁢( x-p) +d ( x≧0 )
が成り立つことを示せ.
(3) x≧0 の範囲で,曲線 C と接線 l , および y 軸で囲まれた図形を F とする.その面積 S ⁡(p ) を求めよ.
(4) 2 辺が x 軸, y 軸に平行な長方形 R を考える. R が図形 F を囲んでいるとき, R の面積の最小値 T ⁡( p) を求めよ.さらに, limp →∞ S⁡( p) T⁡( p) を求めよ.
2016-10881-0113
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF14頁)へ
【8】 楕円だえん x2+ y 2a2 =1 ( a>0 ) と y 軸の交点を A ( 0,a ), B (0 ,-a ) とする. θ が - π2 ≦θ ≦ π2 の範囲を動くとき,点 P ( cos⁡θ, sin⁡θ ) はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.
(1) 線分 AP の長さを l とする. X=sin ⁡θ (- π 2≦ θ≦ π2 ) のとき, Y=l 2 となる関数を Y =f⁡( X) とする. f⁡( X) を X の式で表せ.
(2) 0<a <1 の場合.
(1)の関数 f ⁡( X) の最大値を a を用いて表し,そのときの X の値を求めよ.
(3) a=2 の場合.
(1)の関数 f ⁡(x ) の値が最大となるときの点 P を P1 とする. f⁡( X) の最大値と P1 の座標を求めよ.また,点 A ( 0,2 ) を中心とし点 P1 を通る円を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.
教育(小学,幼稚園(こども保育),特別支援,中学(社会,技術)教育コース),経済,環境科学,水産学部 【1】,【2】
教育(中学(数学)教育コース),薬学部 【3】,【4】,【5】,【7】
医学部 【3】,【4】,【7】,【8】
歯,工学部 【3】,【4】,【5】,【6】