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2016-10901-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2016 熊本大学 前期
教育,医(看護学専攻)学部
易□ 並□ 難□
【1】 右図のように, ▵ABC の外部に 3 点 D ,E , F を ▵ ABD, ▵BCE , ▵CAF がそれぞれ正三角形になるようにとる. ▵ABC の面積を S , 3 辺の長さを BC =a ,CA= b, AB=c とおくとき,以下の問いに答えよ.
(問1) ∠BAC= θ とおくとき, sin⁡θ を b , c ,S を用いて, cos⁡θ を a , b ,c を用いて表せ.
(問2) DC2 を a , b ,c , S を用いて表し, DC2= EA2= FB2 が成り立つことを示せ.
(問3) 3 つの正三角形の面積の平均を T とおくとき, DC2 を S と T を用いて表せ.
2016-10901-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁16行)へ
教育,理,医(看護,放射線技術科,検査技術科学専攻),薬,工学部
【2】 1 つのさいころを 3 回投げる. 1 回目に出る目の数, 2 回目に出る目の数, 3 回目に出る目の数をそれぞれ X1 ,X 2 ,X3 とし, 5 つの数
2 ,5 , 2-X 1 ,5 +X2 , X3
からなるデータを考える.以下の問いに答えよ.
(問1) データの範囲が 7 以下である確率を求めよ.
(問2) X3 がデータの中央値に等しい確率を求めよ.
(問3) X3 がデータの平均値に等しい確率を求めよ.
(問4) データの中央値と平均値が一致するとき, X3 が中央値に等しい条件付き確率を求めよ.
2016-10901-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁)へ
【3】 自然数 a に対して
S⁡( a)= ∑ k=1 a 1k+1 +k
とおく.以下の問いに答えよ.
(問1) 和 S ⁡(a ) を求めよ.
(問2) S⁡( a) が整数となる自然数 a を小さい順に並べた数列を
a1 , a2 , a3 , ⋯ ,a n ,⋯
とする.一般項 a n を求めよ.
(問3) (問2)の数列 { an } について, a n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を 4 で割った余りは 0 か 3 であることを示せ.
(問4) (問2)の数列 { an } と自然数 N に対して和 ∑n =1N 1an を求めよ.
2016-10901-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
【4】 2 次関数 f ⁡(x ) に対して
F⁡( x)= ∫ 0xf ⁡(t )⁢d t
とおく. a を正の数とし, F⁡( x) が x =a と x =-a で極値をとるとき,以下の問いに答えよ.
(問1) すべての x について F ⁡(- x)= -F⁡( x) が成り立つことを示せ.
(問2) F⁡( x)+ F⁡( a)= 0 を満たす x をすべて求めよ.
(問3) 関数 F⁡( x) F′⁡ (0 ) の最大値を求めよ.
2016-10901-0105
理,医(放射線技術科,検査技術科学専攻),薬,工学部
【1】 1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC を考える. 0<s < 12 に対し OC を s :(1 -s) に内分する点を P とし, 0<t <1 に対し OC を t :(1 -t) に内分する点を Q とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とおくとき,以下の問いに答えよ.
(問1) PB→ , PQ→ をそれぞれ a→ , b→ , c→ , s ,t を用いて表せ.
(問2) ∠BPQ= 90⁢ ° であるとき, t を s を用いて表せ.
(問3) (問2)の条件の下で, t の最大値とそのときの s の値を求めよ.
(問4) (問3)で求めた s , t に対して, PQ2 を求めよ.
2016-10901-0106
理,医(医学科,放射線技術科,検査技術科学専攻),薬,工学部
【3】 0<θ < π2 を満たす θ に対して, α=2 ⁢(cos ⁡θ+i ⁢sin⁡θ ) とする.ただし, i は虚数単位である. n=1 , 2 ,3 , ⋯ に対して
zn= αn- 2⁢α n-1
(問1) θ= π3 とするとき, zn を極形式で表せ.
(問2) θ= π 3 とするとき, ∑k= 1n | zk |> 500 となる最小の n を求めよ.
(問3) z1000 が実数となるような θ の値の個数を求めよ.
2016-10901-0107
入試の軌跡 数学さんの解答(PD7頁)へ
医(医学科)学部は【2】
【4】 x≧1 で定義された関数
f⁡( x)= log ⁡xx 2
について,以下の問いに答えよ.
(問1) x≧1 における f ⁡(x ) の最大値とそのときの x の値を求めよ.
(問2) (問1)で求めた x の値を a とする.曲線 y =f⁡( x) と 2 直線 y =0 ,x= a で囲まれた図形を D とする. D の面積を求めよ.
(問3) (問2)の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
2016-10901-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁)へ
医(医学科)学部
【1】 ▵ABC と, A を通り BC に平行な直線 l を考える. k を正の数とし,直線 l 上に点 P を AP→= k⁢BC → となるようにとる.また直線 l 上に点 Q を,線分 PB と線分 QC が 1 点で交わるようにとる.その交点を R とする. AB→ =b→ , AC→ =c→ とおき,また m を AQ→ =m⁢ AP→ により定める.以下の問いに答えよ.
(問1) AR→ を b→ , c→ , k , m を用いて表せ.
(問2) |b →| =1 , | c→ |=2 , cos⁡∠ BAC= 34 , m=-1 とする. BR→ と CR → が直交するとき, k の値を求めよ.
2016-10901-0109
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁10行)へ
【4】 a ,b を実数とし,曲線 C :y= x3-3 ⁢a⁢ x2+ b⁢x を考える. C の接線の傾きの最小値が - 3 であるとき,以下の問いに答えよ.
(問1) b を a を用いて表せ.
(問2) C が x 軸の正の部分,負の部分とそれぞれ 1 点で交わるとする.このとき a の値の範囲を求めよ.
(問3) a が(問2)で求めた範囲にあるとき, C と x 軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め,そのときの a の値を求めよ.